Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limptlimpr2lem1 Unicode version

Theorem limptlimpr2lem1 25574
Description: Lemma for limptlimpr 25576. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
limptlimpr2.t  |-  T  =  ( R  tX  S
)
limptlimpr2.x  |-  X  = 
U. R
limptlimpr2.y  |-  Y  = 
U. S
limptlimpr2.z  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
Assertion
Ref Expression
limptlimpr2lem1  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( ( T 
fLimf  L ) `  F
)  ->  ( L1  e.  ( ( R  fLimf  L ) `  ( 1st 
o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) ) ) )

Proof of Theorem limptlimpr2lem1
Dummy variables  s  v"  v'  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limptlimpr2.t . . . . . 6  |-  T  =  ( R  tX  S
)
2 txtop 17264 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
323adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
43adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
51, 4syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  T  e.  Top )
6 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. T  =  U. T
76toptopon 16671 . . . . 5  |-  ( T  e.  Top  <->  T  e.  (TopOn `  U. T ) )
85, 7sylib 188 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  T  e.  (TopOn `  U. T ) )
9 simpl3 960 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  L  e.  ( Fil `  W
) )
10 limptlimpr2.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. R
11 limptlimpr2.y . . . . . . . . . . 11  |-  Y  = 
U. S
1210, 11txuni 17287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) )
13 limptlimpr2.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
141unieqi 3837 . . . . . . . . . 10  |-  U. T  =  U. ( R  tX  S )
1512, 13, 143eqtr4g 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  Z  =  U. T
)
16 feq3 5377 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  =  U. T  -> 
( F : W --> Z 
<->  F : W --> U. T
) )
1715, 16syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( F : W --> Z 
<->  F : W --> U. T
) )
18173adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  ->  ( F : W --> Z  <->  F : W
--> U. T ) )
1918biimpcd 215 . . . . . 6  |-  ( F : W --> Z  -> 
( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  ->  F : W
--> U. T ) )
2019adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
)  ->  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  ->  F : W --> U. T ) )
2120impcom 419 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  F : W --> U. T )
22 flfnei 17686 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (TopOn `  U. T )  /\  L  e.  ( Fil `  W
)  /\  F : W
--> U. T )  -> 
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( ( T 
fLimf  L ) `  F
)  <->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) )
238, 9, 21, 22syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( ( T 
fLimf  L ) `  F
)  <->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) )
24123adant3 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  ->  ( X  X.  Y )  = 
U. ( R  tX  S ) )
2524adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  ( X  X.  Y )  = 
U. ( R  tX  S ) )
2625, 14syl6reqr 2334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  U. T  =  ( X  X.  Y ) )
2726eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  <->  <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( X  X.  Y ) ) )
28 opelxp 4719 . . . . . . . . 9  |-  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( X  X.  Y )  <->  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y ) )
2927, 28syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  <->  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y ) ) )
3029biimpcd 215 . . . . . . 7  |-  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  -> 
( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
) )
3130adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
<. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  -> 
( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
) )
3231imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) )  -> 
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
) )
33 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y ) )
34 simprl1 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) )  ->  R  e.  Top )
3534adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  R  e.  Top )
36 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  L1  e.  X
)
37 simprl2 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) )  ->  S  e.  Top )
3837adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  S  e.  Top )
39 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  L 2  e.  Y )
4010apnei 25520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  L1  e.  X )  ->  E. v' v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) )
4111apnei 25520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  Top  /\  L 2  e.  Y
)  ->  E. v" v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )
4240, 41anim12i 549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  L1  e.  X )  /\  ( S  e.  Top  /\  L 2  e.  Y
) )  ->  ( E. v' v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } )  /\  E. v" v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) ) )
4335, 36, 38, 39, 42syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  ( E. v' v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  /\  E. v" v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) ) )
4435ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } )  /\  (
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  R  e.  Top )
4538ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } )  /\  (
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  S  e.  Top )
46 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } )  /\  (
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y ) )
47 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } )  /\  (
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )
48 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } )  /\  (
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )
491, 10, 11prdnei 25573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  /\ 
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) ) )  ->  ( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) )
5044, 45, 46, 47, 48, 49syl212anc 1192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } )  /\  (
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  ( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) )
51 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  ( v'  X.  v" )  -> 
( ( F "
s )  C_  v  <->  ( F " s ) 
C_  ( v'  X.  v" ) ) )
5251rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  ( v'  X.  v" )  -> 
( E. s  e.  L  ( F "
s )  C_  v  <->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  ( v'  X.  v" ) ) )
5352rspcva 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  ( v'  X.  v" ) )
54 imaco 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 1st  o.  F )
" s )  =  ( 1st " ( F " s ) )
55 simp2l2 1055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
<. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  ->  S  e.  Top )
56553ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  S  e.  Top )
57563ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  /\  s  e.  L  /\  ( F
" s )  C_  ( v'  X.  v" ) )  ->  S  e.  Top )
58 simp2rr 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
<. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  ->  L 2  e.  A )
59583ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  L 2  e.  A )
60593ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  /\  s  e.  L  /\  ( F
" s )  C_  ( v'  X.  v" ) )  ->  L 2  e.  A )
61 simp12 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  /\  s  e.  L  /\  ( F
" s )  C_  ( v'  X.  v" ) )  -> 
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) )
62 npmp 25521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( S  e.  Top  /\  L 2  e.  A  /\ 
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) )  ->  v"  =/=  (/) )
6357, 60, 61, 62syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  /\  s  e.  L  /\  ( F
" s )  C_  ( v'  X.  v" ) )  -> 
v"  =/=  (/) )
64 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  /\  s  e.  L  /\  ( F
" s )  C_  ( v'  X.  v" ) )  ->  ( F "
s )  C_  ( v' 
X. 
v" ) )
65 prjpacp1 25127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v"  =/=  (/)  /\  ( F
" s )  C_  ( v'  X.  v" ) )  ->  ( 1st " ( F " s ) ) 
C_  v' )
6663, 64, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  /\  s  e.  L  /\  ( F
" s )  C_  ( v'  X.  v" ) )  ->  ( 1st " ( F " s ) ) 
C_  v' )
6754, 66syl5eqss 3222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  /\  s  e.  L  /\  ( F
" s )  C_  ( v'  X.  v" ) )  ->  ( ( 1st 
o.  F ) "
s )  C_  v' )
68673exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  ( s  e.  L  ->  ( ( F " s ) 
C_  ( v'  X.  v" )  -> 
( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' ) ) )
6968reximdvai 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  ( E. s  e.  L  ( F " s )  C_  ( v'  X.  v" )  ->  E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' ) )
7053, 69syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  -> 
( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) "
s )  C_  v' )
)
7170ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( v'  X. 
v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  -> 
( A. v  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v  ->  (
( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) "
s )  C_  v' )
) )
7271com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. v  e.  ( ( nei `  T ) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v  ->  ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  ( ( v' 
X. 
v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  ->  E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' ) ) )
73723expd 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. v  e.  ( ( nei `  T ) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v  ->  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  ->  ( v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  ->  ( v'  e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } )  ->  (
( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  ->  E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' ) ) ) ) )
74733expd 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. v  e.  ( ( nei `  T ) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v  ->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  -> 
( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  (
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  ->  ( v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  ->  ( v'  e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } )  ->  (
( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  ->  E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' ) ) ) ) ) ) )
7574impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  -> 
( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  (
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  ->  ( v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  ->  ( v'  e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } )  ->  (
( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  ->  E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' ) ) ) ) ) )
7675imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) )  -> 
( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  ->  ( v"  e.  ( ( nei `  S ) `  { L 2 } )  -> 
( v'  e.  ( ( nei `  R ) `
 { L1 } )  ->  ( ( v'  X. 
v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  ->  E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' ) ) ) ) )
7776impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  ( v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  ->  ( v'  e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } )  ->  (
( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  ->  E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' ) ) ) )
7877impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v"  e.  ( ( nei `  S ) `  { L 2 } )  /\  ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  (
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  ->  ( v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  ->  ( ( v'  X. 
v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  ->  E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' ) ) )
7978imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } )  /\  (
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  ( ( v' 
X. 
v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  ->  E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' ) )
8050, 79mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } )  /\  (
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) "
s )  C_  v' )
8180ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v"  e.  ( ( nei `  S ) `  { L 2 } )  /\  ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  (
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  ->  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' )
8281ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  ->  (
( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  (
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  A. v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' ) )
8382exlimiv 1666 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v" v"  e.  ( ( nei `  S ) `  { L 2 } )  -> 
( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  (
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  A. v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' ) )
84 3simpa 952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  ->  ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top ) )
8584ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) )  -> 
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )
)
8685adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top ) )
8786ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } )  /\  ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  (
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  -> 
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )
)
88 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } )  /\  ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  (
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  -> 
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
) )
89 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } )  /\  ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  (
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  ->  v'  e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } ) )
90 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } )  /\  ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  (
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  ->  v"  e.  ( ( nei `  S ) `  { L 2 } ) )
9187, 88, 89, 90, 49syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } )  /\  ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  (
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  -> 
( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) )
9252rspccv 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. v  e.  ( ( nei `  T ) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v  ->  ( ( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  ( v'  X.  v" ) ) )
9392ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) )  -> 
( ( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  ( v'  X.  v" ) ) )
9493adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  ( ( v'  X. 
v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  ( v'  X.  v" ) ) )
9594ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } )  /\  ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  (
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  -> 
( ( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  ( v'  X.  v" ) ) )
9695com12 27 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v'  X. 
v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  -> 
( ( ( v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  /\  ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  (
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  ( v'  X.  v" ) ) )
97 npmp 25521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( R  e.  Top  /\  L1  e.  X  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  v'  =/=  (/) )
98 imaco 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( 2nd  o.  F )
" s )  =  ( 2nd " ( F " s ) )
99 prjpacp2 25128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( v'  =/=  (/)  /\  ( F
" s )  C_  ( v'  X.  v" ) )  ->  ( 2nd " ( F " s ) ) 
C_ 
v" )
10098, 99syl5eqss 3222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( v'  =/=  (/)  /\  ( F
" s )  C_  ( v'  X.  v" ) )  ->  ( ( 2nd 
o.  F ) "
s )  C_  v" )
101100ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( v'  =/=  (/)  ->  ( ( F " s )  C_  ( v'  X.  v" )  -> 
( ( 2nd  o.  F ) " s
)  C_  v" ) )
10297, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( R  e.  Top  /\  L1  e.  X  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  ( ( F " s )  C_  ( v'  X.  v" )  -> 
( ( 2nd  o.  F ) " s
)  C_  v" ) )
1031023exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  e.  Top  ->  ( L1  e.  X  ->  ( v'  e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } )  ->  (
( F " s
)  C_  ( v'  X.  v" )  -> 
( ( 2nd  o.  F ) " s
)  C_  v" ) ) ) )
104103adantrd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R  e.  Top  ->  (
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  ->  ( v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  ->  ( ( F
" s )  C_  ( v'  X.  v" )  -> 
( ( 2nd  o.  F ) " s
)  C_  v" ) ) ) )
1051043ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  ->  (
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  ->  ( v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  ->  ( ( F
" s )  C_  ( v'  X.  v" )  -> 
( ( 2nd  o.  F ) " s
)  C_  v" ) ) ) )
106105adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  (
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  ->  ( v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  ->  ( ( F
" s )  C_  ( v'  X.  v" )  -> 
( ( 2nd  o.  F ) " s
)  C_  v" ) ) ) )
107106imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  ->  ( v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  ->  ( ( F
" s )  C_  ( v'  X.  v" )  -> 
( ( 2nd  o.  F ) " s
)  C_  v" ) ) )
1081073adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
<. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  ->  ( v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  ->  ( ( F
" s )  C_  ( v'  X.  v" )  -> 
( ( 2nd  o.  F ) " s
)  C_  v" ) ) )
109108imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )  ->  ( ( F " s )  C_  ( v'  X.  v" )  -> 
( ( 2nd  o.  F ) " s
)  C_  v" ) )
1101093adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  /\ 
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) )  -> 
( ( F "
s )  C_  ( v' 
X. 
v" )  ->  (
( 2nd  o.  F
) " s ) 
C_ 
v" ) )
111110adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  /\ 
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) )  /\  ( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) )  ->  ( ( F
" s )  C_  ( v'  X.  v" )  -> 
( ( 2nd  o.  F ) " s
)  C_  v" ) )
112111reximdv 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  /\  v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  /\ 
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) )  /\  ( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) )  ->  ( E. s  e.  L  ( F " s )  C_  ( v' 
X. 
v" )  ->  E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) )
1131123exp1 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
<. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )
)  ->  ( v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  ->  ( v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  ->  (
( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  -> 
( E. s  e.  L  ( F "
s )  C_  ( v' 
X. 
v" )  ->  E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) ) ) ) )
1141133exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  -> 
( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  (
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  ->  ( v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  ->  ( v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  ->  (
( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  -> 
( E. s  e.  L  ( F "
s )  C_  ( v' 
X. 
v" )  ->  E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) ) ) ) ) ) )
115114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
<. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  -> 
( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  (
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  ->  ( v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  ->  ( v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  ->  (
( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  -> 
( E. s  e.  L  ( F "
s )  C_  ( v' 
X. 
v" )  ->  E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) ) ) ) ) ) )
116115imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) )  -> 
( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  ->  ( v'  e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } )  ->  ( v"  e.  ( ( nei `  S ) `  { L 2 } )  -> 
( ( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  -> 
( E. s  e.  L  ( F "
s )  C_  ( v' 
X. 
v" )  ->  E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) ) ) ) ) )
117116impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  ( v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  ->  ( v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  ->  (
( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  -> 
( E. s  e.  L  ( F "
s )  C_  ( v' 
X. 
v" )  ->  E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) ) ) ) )
118117impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v'  e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } )  /\  (
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  ->  ( v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  ->  (
( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  -> 
( E. s  e.  L  ( F "
s )  C_  ( v' 
X. 
v" )  ->  E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) ) ) )
119118imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } )  /\  ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  (
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  -> 
( ( v'  X.  v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  -> 
( E. s  e.  L  ( F "
s )  C_  ( v' 
X. 
v" )  ->  E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) ) )
120119com12 27 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v'  X. 
v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  -> 
( ( ( v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  /\  ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  (
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  -> 
( E. s  e.  L  ( F "
s )  C_  ( v' 
X. 
v" )  ->  E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) ) )
12196, 120mpdd 36 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v'  X. 
v" )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  -> 
( ( ( v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  /\  ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  (
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  ->  E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s
)  C_  v" ) )
12291, 121mpcom 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } )  /\  ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  (
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  /\  v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  ->  E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s
)  C_  v" )
123122ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v'  e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } )  /\  (
( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) ) )  ->  A. v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" )
124123ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  ->  ( ( (
L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) )
125124exlimiv 1666 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v' v'  e.  ( ( nei `  R ) `
 { L1 } )  ->  ( ( (
L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) )
12683, 125anim12ii 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E.
v"
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } )  /\  E. v' v'  e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } ) )  -> 
( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  (
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  ( A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v'  /\  A. v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) ) )
127126ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. v' v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } )  /\  E. v" v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  -> 
( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  (
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  ( A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v'  /\  A. v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) ) )
12843, 127mpcom 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  ( A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v'  /\  A. v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) )
129 an4 797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) )  <-> 
( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y )  /\  ( A. v'  e.  ( ( nei `  R ) `
 { L1 } ) E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v'  /\  A. v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) ) )
13033, 128, 129sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) ) )
13110toptopon 16671 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  X ) )
13235, 131sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  R  e.  (TopOn `  X ) )
133 simprl3 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) )  ->  L  e.  ( Fil `  W ) )
134133adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  L  e.  ( Fil `  W ) )
135 feq3 5377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  =  ( X  X.  Y )  ->  ( F : W --> Z  <->  F : W
--> ( X  X.  Y
) ) )
13613, 135ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : W --> Z  <->  F : W
--> ( X  X.  Y
) )
137136biimpi 186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : W --> Z  ->  F : W --> ( X  X.  Y ) )
138137ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  F : W --> ( X  X.  Y ) )
139138ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  F : W --> ( X  X.  Y
) )
140 1stcof 6147 . . . . . . . . 9  |-  ( F : W --> ( X  X.  Y )  -> 
( 1st  o.  F
) : W --> X )
141139, 140syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  ( 1st  o.  F ) : W --> X )
142 flfnei 17686 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  W
)  /\  ( 1st  o.  F ) : W --> X )  ->  ( L1  e.  ( ( R 
fLimf  L ) `  ( 1st  o.  F ) )  <-> 
( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' ) ) )
143132, 134, 141, 142syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  ( L1  e.  ( ( R  fLimf  L ) `  ( 1st 
o.  F ) )  <-> 
( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' ) ) )
14411toptopon 16671 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  Y ) )
14538, 144sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  S  e.  (TopOn `  Y ) )
146 2ndcof 6148 . . . . . . . . 9  |-  ( F : W --> ( X  X.  Y )  -> 
( 2nd  o.  F
) : W --> Y )
147139, 146syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  ( 2nd  o.  F ) : W --> Y )
148 flfnei 17686 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  ( Fil `  W
)  /\  ( 2nd  o.  F ) : W --> Y )  ->  ( L 2  e.  (
( S  fLimf  L ) `
 ( 2nd  o.  F ) )  <->  ( L 2  e.  Y  /\  A. v"  e.  ( ( nei `  S ) `  { L 2 } ) E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F
) " s ) 
C_ 
v" ) ) )
149145, 134, 147, 148syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  ( L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) )  <-> 
( L 2  e.  Y  /\  A. v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) ) )
150143, 149anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  ( ( L1  e.  ( ( R  fLimf  L ) `  ( 1st 
o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) )  <->  ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s
)  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) "
s )  C_  v" ) ) ) )
151130, 150mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) ) )  ->  ( L1  e.  ( ( R  fLimf  L ) `  ( 1st 
o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) ) )
15232, 151mpancom 650 . . . 4  |-  ( ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) ) )  -> 
( L1  e.  (
( R  fLimf  L ) `
 ( 1st  o.  F ) )  /\  L 2  e.  (
( S  fLimf  L ) `
 ( 2nd  o.  F ) ) ) )
153152ex 423 . . 3  |-  ( (
<. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )  -> 
( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  ( L1  e.  ( ( R 
fLimf  L ) `  ( 1st  o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) ) ) )
15423, 153syl6bi 219 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( ( T 
fLimf  L ) `  F
)  ->  ( (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  ( L1  e.  ( ( R 
fLimf  L ) `  ( 1st  o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) ) ) ) )
155154pm2.43a 45 1  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  ( F : W --> Z  /\  L 2  e.  A
) )  ->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( ( T 
fLimf  L ) `  F
)  ->  ( L1  e.  ( ( R  fLimf  L ) `  ( 1st 
o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827    X. cxp 4687   "cima 4692    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   neicnei 16834    tX ctx 17255   Filcfil 17540    fLimf cflf 17630
This theorem is referenced by:  limptlimpr  25576
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-nei 16835  df-tx 17257  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635
  Copyright terms: Public domain W3C validator