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Theorem limptlimpr2lem2 25678
Description: Lemma for limptlimpr 25679. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
limptlimpr2lem2.t  |-  T  =  ( R  tX  S
)
limptlimpr2lem2.x  |-  X  = 
U. R
limptlimpr2lem2.y  |-  Y  = 
U. S
limptlimpr2lem2.z  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
Assertion
Ref Expression
limptlimpr2lem2  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  ( ( L1  e.  ( ( R  fLimf  L ) `  ( 1st 
o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) )  ->  <. L1 ,  L 2 >.  e.  (
( T  fLimf  L ) `
 F ) ) )

Proof of Theorem limptlimpr2lem2
Dummy variables  o"  o'_  s  s"  s'  v  v'  v" are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  R  e.  Top )
2 limptlimpr2lem2.x . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. R
32toptopon 16687 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  X ) )
41, 3sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  R  e.  (TopOn `  X ) )
5 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  L  e.  ( Fil `  W ) )
6 limptlimpr2lem2.z . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
7 feq3 5393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  =  ( X  X.  Y )  ->  ( F : W --> Z  <->  F : W
--> ( X  X.  Y
) ) )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : W --> Z  <->  F : W
--> ( X  X.  Y
) )
98biimpi 186 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : W --> Z  ->  F : W --> ( X  X.  Y ) )
109adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  F : W --> ( X  X.  Y
) )
11 1stcof 6163 . . . . . . . . 9  |-  ( F : W --> ( X  X.  Y )  -> 
( 1st  o.  F
) : W --> X )
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  ( 1st  o.  F ) : W --> X )
13 flfnei 17702 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  W
)  /\  ( 1st  o.  F ) : W --> X )  ->  ( L1  e.  ( ( R 
fLimf  L ) `  ( 1st  o.  F ) )  <-> 
( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' ) ) )
144, 5, 12, 13syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  ( L1  e.  ( ( R  fLimf  L ) `  ( 1st 
o.  F ) )  <-> 
( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' ) ) )
15 simpl2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  S  e.  Top )
16 limptlimpr2lem2.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  = 
U. S
1716toptopon 16687 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  Y ) )
1815, 17sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  S  e.  (TopOn `  Y ) )
198a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  ->  ( F : W --> Z  <->  F : W
--> ( X  X.  Y
) ) )
2019biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  F : W --> ( X  X.  Y
) )
21 2ndcof 6164 . . . . . . . . 9  |-  ( F : W --> ( X  X.  Y )  -> 
( 2nd  o.  F
) : W --> Y )
2220, 21syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  ( 2nd  o.  F ) : W --> Y )
23 flfnei 17702 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  ( Fil `  W
)  /\  ( 2nd  o.  F ) : W --> Y )  ->  ( L 2  e.  (
( S  fLimf  L ) `
 ( 2nd  o.  F ) )  <->  ( L 2  e.  Y  /\  A. v"  e.  ( ( nei `  S ) `  { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F )
"
s" )  C_  v" ) ) )
2418, 5, 22, 23syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  ( L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) )  <-> 
( L 2  e.  Y  /\  A. v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) ) )
2514, 24anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  ( ( L1  e.  ( ( R  fLimf  L ) `  ( 1st 
o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) )  <->  ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) ) ) )
26 opelxpi 4737 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  ->  <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( X  X.  Y ) )
2726ad2ant2r 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  ->  <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( X  X.  Y ) )
282, 16txuni 17303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) )
291, 15, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. ( R  tX  S ) )
30 limptlimpr2lem2.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( R  tX  S
)
3130unieqi 3853 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. T  =  U. ( R  tX  S )
3229, 31syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. T )
3332eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( X  X.  Y )  <->  <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T
) )
3433biimpac 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. L1 ,  L 2 >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T
)
3527, 34sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T
)
36 simprl1 1000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  R  e.  Top )
37 simprl2 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  S  e.  Top )
38 simplll 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  L1  e.  X
)
39 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  L 2  e.  Y )
4030exopcopn 25675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
)  /\  v  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) )  ->  E. o'_  e.  R  E. o"  e.  S  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( o'_  X.  o" )  /\  ( o'_  X.  o" )  C_  v ) )
41403expia 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( L1  e.  X  /\  L 2  e.  Y
) )  ->  (
v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } )  ->  E. o'_  e.  R  E. o"  e.  S  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( o'_  X.  o" )  /\  ( o'_  X.  o" )  C_  v ) ) )
4236, 37, 38, 39, 41syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  ( v  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  ->  E. o'_  e.  R  E. o"  e.  S  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( o'_  X.  o" )  /\  ( o'_  X.  o" )  C_  v ) ) )
43 opelxp 4735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( o'_  X.  o" )  <->  ( L1  e.  o'_  /\  L 2  e. 
o" ) )
44 an6 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  o'_  e.  R  /\  L1  e.  o'_ )  /\  ( S  e.  Top  /\  o"  e.  S  /\  L 2  e.  o" ) )  <-> 
( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( o'_ 
e.  R  /\  o"  e.  S
)  /\  ( L1  e.  o'_  /\  L 2  e. 
o" ) ) )
45 opnneip 16872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e.  Top  /\  o'_ 
e.  R  /\  L1  e.  o'_ )  ->  o'_  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) )
46 opnneip 16872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( S  e.  Top  /\  o"  e.  S  /\  L 2  e. 
o" )  ->  o"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )
47 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( v'  =  o'_  ->  ( (
( 1st  o.  F
) " s' )  C_  v' 
<->  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_ ) )
4847rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( v'  =  o'_  ->  ( E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F )
" s' )  C_  v'  <->  E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_ ) )
4948rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( o'_  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } )  ->  ( A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v'  ->  E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_ ) )
50 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( v"  =  o"  ->  (
( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v"  <->  ( ( 2nd  o.  F
) " s" )  C_  o" ) )
5150rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( v"  =  o"  ->  ( E.
s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F
) " s" )  C_  v"  <->  E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F )
"
s" )  C_  o" ) )
5251rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( o"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } )  ->  ( A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v"  ->  E.
s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F
) " s" )  C_  o" ) )
5349, 52im2anan9 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( o'_  e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } )  /\  o"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  -> 
( ( A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v'  /\  A. v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" )  ->  ( E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_  /\  E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  o" ) ) )
54 filin 17565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  W )  /\  s'  e.  L  /\ 
s"  e.  L )  ->  ( s'  i^i  s" )  e.  L )
55 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( s'  i^i  s" )  C_  s'
56 imass2 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( s'  i^i 
s" )  C_  s'  ->  (
( 1st  o.  F
) " ( s'  i^i  s" ) )  C_  ( ( 1st  o.  F ) " s' )
)
57 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( s'  i^i  s" )  C_  s"
58 sstr 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( ( 1st  o.  F ) " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  /\  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_ )  ->  ( ( 1st  o.  F )
" ( s'  i^i  s" ) ) 
C_  o'_ )
59 imass2 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( s'  i^i 
s" )  C_  s"  ->  (
( 2nd  o.  F
) " ( s'  i^i  s" ) )  C_  ( ( 2nd  o.  F ) " s" ) )
60 sstr 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( ( ( ( 2nd  o.  F ) " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  /\  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  o" )  ->  ( ( 2nd 
o.  F ) "
( s'  i^i  s" ) ) 
C_ 
o" )
61 imaco 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( ( 1st  o.  F )
" ( s'  i^i  s" ) )  =  ( 1st " ( F " ( s'  i^i  s" ) ) )
6261sseq1i 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( ( 1st  o.  F
) " ( s'  i^i  s" ) )  C_  o'_  <->  ( 1st " ( F
" ( s'  i^i  s" ) ) )  C_  o'_ )
63 imaco 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( ( 2nd  o.  F )
" ( s'  i^i  s" ) )  =  ( 2nd " ( F " ( s'  i^i  s" ) ) )
6463sseq1i 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( ( 2nd  o.  F
) " ( s'  i^i  s" ) )  C_  o"  <->  ( 2nd " ( F
" ( s'  i^i  s" ) ) )  C_  o" )
65 xpss12 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( ( 1st " ( F " ( s'  i^i  s" ) ) )  C_  o'_  /\  ( 2nd " ( F "
( s'  i^i  s" ) ) )  C_  o" )  -> 
( ( 1st " ( F " ( s'  i^i  s" ) ) )  X.  ( 2nd " ( F "
( s'  i^i  s" ) ) ) )  C_  ( o'_ 
X. 
o" ) )
6662, 64, 65syl2anb 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( ( ( 1st  o.  F ) " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  o'_ 
/\  ( ( 2nd 
o.  F ) "
( s'  i^i  s" ) ) 
C_ 
o" )  ->  (
( 1st " ( F " ( s'  i^i  s" ) ) )  X.  ( 2nd " ( F "
( s'  i^i  s" ) ) ) )  C_  ( o'_ 
X. 
o" ) )
67 imassrn 5041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( F
" ( s'  i^i  s" ) ) 
C_  ran  F
68 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( F : W --> Z  ->  ran  F  C_  Z )
69 sstr 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59  |-  ( ( ( F " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  ran  F  /\  ran  F  C_  Z )  ->  ( F " ( s'  i^i  s" ) ) 
C_  Z )
70 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61  |-  ( Z  =  ( X  X.  Y )  ->  (
( F " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  Z 
<->  ( F " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  ( X  X.  Y
) ) )
7170biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60  |-  ( Z  =  ( X  X.  Y )  ->  (
( F " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  Z  ->  ( F "
( s'  i^i  s" ) ) 
C_  ( X  X.  Y ) ) )
72 relxp 4810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60  |-  Rel  ( X  X.  Y )
73 relss 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60  |-  ( ( F " ( s'  i^i  s" ) )  C_  ( X  X.  Y
)  ->  ( Rel  ( X  X.  Y
)  ->  Rel  ( F
" ( s'  i^i  s" ) ) ) )
7471, 72, 73syl6mpi 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59  |-  ( Z  =  ( X  X.  Y )  ->  (
( F " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  Z  ->  Rel  ( F " ( s'  i^i  s" ) ) ) )
756, 69, 74mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( ( ( F " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  ran  F  /\  ran  F  C_  Z )  ->  Rel  ( F " ( s'  i^i  s" ) ) )
7667, 68, 75sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( F : W --> Z  ->  Rel  ( F " ( s' 
i^i 
s" ) ) )
77 relinccppr 25232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( Rel  ( F " ( s' 
i^i 
s" ) )  -> 
( F " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  ( ( 1st " ( F " ( s'  i^i  s" ) ) )  X.  ( 2nd " ( F "
( s'  i^i  s" ) ) ) ) )
78 sstr2 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( F " ( s'  i^i  s" ) )  C_  ( ( 1st " ( F " ( s'  i^i  s" ) ) )  X.  ( 2nd " ( F "
( s'  i^i  s" ) ) ) )  ->  (
( ( 1st " ( F " ( s'  i^i  s" ) ) )  X.  ( 2nd " ( F "
( s'  i^i  s" ) ) ) )  C_  ( o'_ 
X. 
o" )  ->  ( F " ( s'  i^i  s" ) ) 
C_  ( o'_  X.  o" ) ) )
7976, 77, 783syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( F : W --> Z  -> 
( ( ( 1st " ( F "
( s'  i^i  s" ) ) )  X.  ( 2nd " ( F "
( s'  i^i  s" ) ) ) )  C_  ( o'_ 
X. 
o" )  ->  ( F " ( s'  i^i  s" ) ) 
C_  ( o'_  X.  o" ) ) )
8066, 79syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( ( 1st  o.  F ) " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  o'_ 
/\  ( ( 2nd 
o.  F ) "
( s'  i^i  s" ) ) 
C_ 
o" )  ->  ( F : W --> Z  -> 
( F " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  ( o'_  X.  o" ) ) )
8180ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( ( ( 1st  o.  F
) " ( s'  i^i  s" ) )  C_  o'_ 
->  ( ( ( 2nd 
o.  F ) "
( s'  i^i  s" ) ) 
C_ 
o"  ->  ( F : W --> Z  ->  ( F " ( s'  i^i  s" ) ) 
C_  ( o'_  X.  o" ) ) ) )
8260, 81syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( ( ( 2nd  o.  F ) " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  /\  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  o" )  ->  ( ( ( 1st  o.  F )
" ( s'  i^i  s" ) ) 
C_  o'_  ->  ( F : W --> Z  ->  ( F " ( s'  i^i  s" ) ) 
C_  ( o'_  X.  o" ) ) ) )
8382ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( ( ( 2nd  o.  F
) " ( s'  i^i  s" ) )  C_  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  -> 
( ( ( 2nd 
o.  F ) " s" )  C_  o"  ->  (
( ( 1st  o.  F ) " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  o'_ 
->  ( F : W --> Z  ->  ( F "
( s'  i^i  s" ) ) 
C_  ( o'_  X.  o" ) ) ) ) )
8483com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( ( 2nd  o.  F
) " ( s'  i^i  s" ) )  C_  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  -> 
( ( ( 1st 
o.  F ) "
( s'  i^i  s" ) ) 
C_  o'_  ->  ( (
( 2nd  o.  F
) " s" )  C_  o"  ->  ( F : W --> Z  ->  ( F "
( s'  i^i  s" ) ) 
C_  ( o'_  X.  o" ) ) ) ) )
8559, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( s'  i^i 
s" )  C_  s"  ->  (
( ( 1st  o.  F ) " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  o'_ 
->  ( ( ( 2nd 
o.  F ) " s" )  C_  o"  ->  ( F : W --> Z  -> 
( F " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  ( o'_  X.  o" ) ) ) ) )
8657, 58, 85mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( ( ( 1st  o.  F ) " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  /\  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_ )  ->  ( ( ( 2nd  o.  F
) " s" )  C_  o"  ->  ( F : W --> Z  ->  ( F "
( s'  i^i  s" ) ) 
C_  ( o'_  X.  o" ) ) ) )
8786ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( ( 1st  o.  F
) " ( s'  i^i  s" ) )  C_  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  ->  ( ( ( 1st 
o.  F ) " s' )  C_  o'_  ->  (
( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  o"  ->  ( F : W --> Z  ->  ( F "
( s'  i^i  s" ) ) 
C_  ( o'_  X.  o" ) ) ) ) )
8887com24 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( 1st  o.  F
) " ( s'  i^i  s" ) )  C_  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  ->  ( F : W --> Z  ->  ( ( ( 2nd  o.  F )
"
s" )  C_  o"  ->  (
( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_  ->  ( F "
( s'  i^i  s" ) ) 
C_  ( o'_  X.  o" ) ) ) ) )
8955, 56, 88mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( F : W --> Z  -> 
( ( ( 2nd 
o.  F ) " s" )  C_  o"  ->  (
( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_  ->  ( F "
( s'  i^i  s" ) ) 
C_  ( o'_  X.  o" ) ) ) )
9089adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  ( ( ( 2nd  o.  F )
"
s" )  C_  o"  ->  (
( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_  ->  ( F "
( s'  i^i  s" ) ) 
C_  ( o'_  X.  o" ) ) ) )
91903imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W
--> Z )  /\  (
( 2nd  o.  F
) " s" )  C_  o"  /\  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_ )  ->  ( F
" ( s'  i^i  s" ) ) 
C_  ( o'_  X.  o" ) )
92 sstr2 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( F " ( s'  i^i  s" ) )  C_  ( o'_  X.  o" )  -> 
( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  ( F "
( s'  i^i  s" ) ) 
C_  v ) )
9391, 92syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W
--> Z )  /\  (
( 2nd  o.  F
) " s" )  C_  o"  /\  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_ )  ->  ( ( o'_  X. 
o" )  C_  v  ->  ( F " ( s' 
i^i 
s" ) )  C_  v ) )
94 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( s  =  ( s'  i^i  s" )  -> 
( F " s
)  =  ( F
" ( s'  i^i  s" ) ) )
9594sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( s  =  ( s'  i^i  s" )  -> 
( ( F "
s )  C_  v  <->  ( F " ( s'  i^i  s" ) )  C_  v ) )
9695rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( s'  i^i  s" )  e.  L  /\  ( F
" ( s'  i^i  s" ) ) 
C_  v )  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )
9796ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( s'  i^i 
s" )  e.  L  ->  ( ( F "
( s'  i^i  s" ) ) 
C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v
) )
9893, 97syl9r 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( s'  i^i 
s" )  e.  L  ->  ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  o"  /\  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_ )  ->  ( ( o'_  X. 
o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) )
99983expd 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( s'  i^i 
s" )  e.  L  ->  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  F : W --> Z )  -> 
( ( ( 2nd 
o.  F ) " s" )  C_  o"  ->  (
( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_  ->  ( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) ) ) )
10054, 99syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  W )  /\  s'  e.  L  /\ 
s"  e.  L )  ->  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  F : W --> Z )  -> 
( ( ( 2nd 
o.  F ) " s" )  C_  o"  ->  (
( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_  ->  ( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) ) ) )
1011003exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( L  e.  ( Fil `  W
)  ->  ( s'  e.  L  ->  (
s"  e.  L  -> 
( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  F : W --> Z )  -> 
( ( ( 2nd 
o.  F ) " s" )  C_  o"  ->  (
( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_  ->  ( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) ) ) ) ) )
102101com34 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( L  e.  ( Fil `  W
)  ->  ( s'  e.  L  ->  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  F : W --> Z )  -> 
(
s"  e.  L  -> 
( ( ( 2nd 
o.  F ) " s" )  C_  o"  ->  (
( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_  ->  ( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) ) ) ) ) )
103102com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( L  e.  ( Fil `  W
)  ->  ( (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  ( s'  e.  L  ->  (
s"  e.  L  -> 
( ( ( 2nd 
o.  F ) " s" )  C_  o"  ->  (
( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_  ->  ( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) ) ) ) ) )
1041033ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  ->  (
( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W
--> Z )  ->  ( s'  e.  L  ->  ( s"  e.  L  ->  (
( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  o"  ->  ( ( ( 1st 
o.  F ) " s' )  C_  o'_  ->  (
( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) ) ) ) ) )
105104anabsi5 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  ( s'  e.  L  ->  (
s"  e.  L  -> 
( ( ( 2nd 
o.  F ) " s" )  C_  o"  ->  (
( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_  ->  ( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) ) ) ) )
106105com5l 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( s'  e.  L  ->  ( s"  e.  L  ->  ( ( ( 2nd 
o.  F ) " s" )  C_  o"  ->  (
( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_  ->  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  F : W --> Z )  -> 
( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) ) ) ) )
107106com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( s"  e.  L  ->  ( ( ( 2nd 
o.  F ) " s" )  C_  o"  ->  ( s'  e.  L  ->  (
( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_  ->  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  F : W --> Z )  -> 
( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) ) ) ) )
108107rexlimiv 2674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F )
"
s" )  C_  o"  ->  ( s'  e.  L  ->  (
( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_  ->  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  F : W --> Z )  -> 
( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) ) ) )
109108com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( s'  e.  L  ->  ( ( ( 1st  o.  F
) " s' )  C_  o'_  ->  ( E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  o"  ->  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  F : W --> Z )  -> 
( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) ) ) )
110109rexlimiv 2674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F )
" s' )  C_  o'_  ->  ( E.
s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F
) " s" )  C_  o"  ->  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  F : W --> Z )  -> 
( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) ) )
111110imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_  /\  E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  o" )  ->  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  /\  F : W --> Z )  -> 
( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) )
112111adantld 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  o'_  /\  E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  o" )  ->  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  ( ( o'_ 
X. 
o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) )
11353, 112syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( o'_  e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } )  /\  o"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  -> 
( ( A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v'  /\  A. v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" )  ->  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  ( ( o'_ 
X. 
o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) ) )
114113com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A. v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v'  /\  A. v"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" )  ->  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  ( ( o'_ 
e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } )  /\  o"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  -> 
( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) ) )
115114ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  ->  (
( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  ( ( o'_ 
e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } )  /\  o"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  -> 
( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) ) )
116115anabsi5 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  ( ( o'_ 
e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } )  /\  o"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  -> 
( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) )
117116com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( o'_  e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } )  /\  o"  e.  ( ( nei `  S
) `  { L 2 } ) )  -> 
( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v
) ) )
11845, 46, 117syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  o'_  e.  R  /\  L1  e.  o'_ )  /\  ( S  e.  Top  /\  o"  e.  S  /\  L 2  e.  o" ) )  ->  ( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v
) ) )
11944, 118sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( o'_  e.  R  /\ 
o"  e.  S )  /\  ( L1  e.  o'_ 
/\  L 2  e.  o" ) )  ->  (
( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v
) ) )
1201193exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( ( o'_  e.  R  /\ 
o"  e.  S )  ->  ( ( L1  e.  o'_  /\  L 2  e. 
o" )  ->  (
( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v
) ) ) ) )
121120com25 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( ( ( (
L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  ( ( L1  e.  o'_  /\  L 2  e. 
o" )  ->  (
( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  ( ( o'_  e.  R  /\  o"  e.  S
)  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v
) ) ) ) )
1221213adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  ->  (
( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  ( ( L1  e.  o'_  /\  L 2  e. 
o" )  ->  (
( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  ( ( o'_  e.  R  /\  o"  e.  S
)  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v
) ) ) ) )
123122ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  ( (
( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  ( ( L1  e.  o'_  /\  L 2  e. 
o" )  ->  (
( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  ( ( o'_  e.  R  /\  o"  e.  S
)  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v
) ) ) ) )
124123pm2.43i 43 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  ( ( L1  e.  o'_  /\  L 2  e. 
o" )  ->  (
( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  ( ( o'_  e.  R  /\  o"  e.  S
)  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v
) ) ) )
12543, 124syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( o'_  X.  o" )  -> 
( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  ( ( o'_  e.  R  /\  o"  e.  S
)  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v
) ) ) )
126125com4l 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( o'_  X.  o" )  -> 
( ( o'_  X.  o" )  C_  v  ->  ( ( o'_  e.  R  /\  o"  e.  S
)  ->  ( (
( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v
) ) ) )
127126imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. L1 ,  L 2 >.  e.  ( o'_  X.  o" )  /\  ( o'_  X.  o" )  C_  v )  ->  (
( o'_  e.  R  /\  o"  e.  S )  ->  (
( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v
) ) )
128127com12 27 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( o'_  e.  R  /\  o"  e.  S
)  ->  ( ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( o'_  X.  o" )  /\  ( o'_  X.  o" )  C_  v )  ->  (
( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v
) ) )
129128rexlimivv 2685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. o'_  e.  R  E. o"  e.  S  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( o'_  X.  o" )  /\  ( o'_  X.  o" )  C_  v )  ->  (
( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v
) )
13042, 129syl6 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  ( v  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  -> 
( ( ( (
L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R ) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v
) ) )
131130pm2.43a 45 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  ( v  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } )  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) )
132131ralrimiv 2638 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  A. v  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v )
13335, 132jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  ( ( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  /\  (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e. 
U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v
) )
134133ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( L1  e.  X  /\  A. v'  e.  (
( nei `  R
) `  { L1 } ) E. s'  e.  L  ( ( 1st  o.  F ) " s' )  C_  v' )  /\  ( L 2  e.  Y  /\  A.
v"  e.  ( ( nei `  S ) `
 { L 2 } ) E. s"  e.  L  ( ( 2nd  o.  F ) " s" )  C_  v" ) )  ->  (
( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W
--> Z )  ->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) )
13525, 134syl6bi 219 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  ( ( L1  e.  ( ( R  fLimf  L ) `  ( 1st 
o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) )  ->  ( (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) ) )
136135pm2.43a 45 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  ( ( L1  e.  ( ( R  fLimf  L ) `  ( 1st 
o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) )  ->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e. 
U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s )  C_  v
) ) )
137136imp 418 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W
--> Z )  /\  ( L1  e.  ( ( R 
fLimf  L ) `  ( 1st  o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) ) )  ->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T ) `
 { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) )
138 txtop 17280 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
1391, 15, 138syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  ( R  tX  S )  e.  Top )
14030, 139syl5eqel 2380 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  T  e.  Top )
141140adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W
--> Z )  /\  ( L1  e.  ( ( R 
fLimf  L ) `  ( 1st  o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) ) )  ->  T  e.  Top )
142 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. T  =  U. T
143142toptopon 16687 . . . . 5  |-  ( T  e.  Top  <->  T  e.  (TopOn `  U. T ) )
144141, 143sylib 188 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W
--> Z )  /\  ( L1  e.  ( ( R 
fLimf  L ) `  ( 1st  o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) ) )  ->  T  e.  (TopOn `  U. T ) )
145 simpll3 996 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W
--> Z )  /\  ( L1  e.  ( ( R 
fLimf  L ) `  ( 1st  o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) ) )  ->  L  e.  ( Fil `  W
) )
14628, 6, 313eqtr4g 2353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  Z  =  U. T
)
147 feq3 5393 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  =  U. T  -> 
( F : W --> Z 
<->  F : W --> U. T
) )
148146, 147syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( F : W --> Z 
<->  F : W --> U. T
) )
149148biimpd 198 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( F : W --> Z  ->  F : W --> U. T ) )
1501493adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W
) )  ->  ( F : W --> Z  ->  F : W --> U. T
) )
151150imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  F : W --> U. T )
152151adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W
--> Z )  /\  ( L1  e.  ( ( R 
fLimf  L ) `  ( 1st  o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) ) )  ->  F : W --> U. T )
153 flfnei 17702 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (TopOn `  U. T )  /\  L  e.  ( Fil `  W
)  /\  F : W
--> U. T )  -> 
( <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( ( T 
fLimf  L ) `  F
)  <->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) )
154144, 145, 152, 153syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W
--> Z )  /\  ( L1  e.  ( ( R 
fLimf  L ) `  ( 1st  o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) ) )  ->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  ( ( T 
fLimf  L ) `  F
)  <->  ( <. L1 ,  L 2 >.  e.  U. T  /\  A. v  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. L1 ,  L 2 >. } ) E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  v ) ) )
155137, 154mpbird 223 . 2  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W
--> Z )  /\  ( L1  e.  ( ( R 
fLimf  L ) `  ( 1st  o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) ) )  ->  <. L1 ,  L 2 >.  e.  (
( T  fLimf  L ) `
 F ) )
156155ex 423 1  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  W ) )  /\  F : W --> Z )  ->  ( ( L1  e.  ( ( R  fLimf  L ) `  ( 1st 
o.  F ) )  /\  L 2  e.  ( ( S  fLimf  L ) `  ( 2nd 
o.  F ) ) )  ->  <. L1 ,  L 2 >.  e.  (
( T  fLimf  L ) `
 F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653   <.cop 3656   U.cuni 3843    X. cxp 4703   ran crn 4706   "cima 4708    o. ccom 4709   Rel wrel 4710   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   neicnei 16850    tX ctx 17271   Filcfil 17556    fLimf cflf 17646
This theorem is referenced by:  limptlimpr  25679
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-nei 16851  df-tx 17273  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651
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