Theorem limsuc 3120

Description: The successor of a member of a limit ordinal is also a member.

Assertion

Ref	Expression
limsuc	|- (Lim A -> (B e. A <-> suc B e. A))

Proof of Theorem limsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflim4 3119	. . 3 |- (Lim A <-> (Ord A /\ (/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A))
2		suceq 3034	. . . . . 6 |- (x = B -> suc x = suc B)
3	2	eleq1d 1540	. . . . 5 |- (x = B -> (suc x e. A <-> suc B e. A))
4	3	rcla4cv 1874	. . . 4 |- (A.x e. A suc x e. A -> (B e. A -> suc B e. A))
5	4	3ad2ant3 802	. . 3 |- ((Ord A /\ (/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A) -> (B e. A -> suc B e. A))
6	1, 5	sylbi 199	. 2 |- (Lim A -> (B e. A -> suc B e. A))
7		limord 3028	. . 3 |- (Lim A -> Ord A)
8		ordtr 2962	. . 3 |- (Ord A -> Tr A)
9		trsuc 3055	. . . 4 |- ((Tr A /\ suc B e. A) -> B e. A)
10	9	ex 373	. . 3 |- (Tr A -> (suc B e. A -> B e. A))
11	7, 8, 10	3syl 20	. 2 |- (Lim A -> (suc B e. A -> B e. A))
12	6, 11	impbid 516	1 |- (Lim A -> (B e. A <-> suc B e. A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  (/)c0 2280  Tr wtr 2680  Ord word 2947  Lim wlim 2949  suc csuc 2950

This theorem is referenced by:  limsssuc 3121  limuni3 3123  peano2b 3147  oaordi 4180  oarec 4196  omordi 4197  oeordi 4214  oelim2 4222  limenpsi 4505  r1ord 4655  ranklim 4685  r1pwcl 4687  rankxplim3 4714  alephordi 4874  cflim 4909

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954

Copyright terms: Public domain