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Theorem limsucncmpi 25270
Description: The successor of a limit ordinal is not compact. (Contributed by Chen-Pang He, 20-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
limsucncmpi.1  |-  Lim  A
Assertion
Ref Expression
limsucncmpi  |-  -.  suc  A  e.  Comp

Proof of Theorem limsucncmpi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2830 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  Top  ->  suc 
A  e.  _V )
2 sucexb 4637 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
31, 2sylibr 203 . . . 4  |-  ( suc 
A  e.  Top  ->  A  e.  _V )
4 sssucid 4506 . . . . 5  |-  A  C_  suc  A
5 elpwg 3666 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ~P suc  A  <-> 
A  C_  suc  A ) )
64, 5mpbiri 224 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  ~P suc  A )
7 limsucncmpi.1 . . . . . . 7  |-  Lim  A
8 limuni 4489 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  A  =  U. A )
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  A  = 
U. A
10 elin 3392 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( z  e.  ~P A  /\  z  e.  Fin ) )
11 elpwi 3667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~P A  -> 
z  C_  A )
1211anim1i 551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~P A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin ) )
1310, 12sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  (
z  C_  A  /\  z  e.  Fin )
)
14 nlim0 4487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  Lim  (/)
157, 142th 230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim 
A  <->  -.  Lim  (/) )
16 xor3 346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( Lim  A  <->  Lim  (/) )  <->  ( Lim  A  <->  -.  Lim  (/) ) )
1715, 16mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  ( Lim  A  <->  Lim  (/) )
18 limeq 4441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  (/)  ->  ( Lim 
A  <->  Lim  (/) ) )
1918necon3bi 2520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( Lim  A  <->  Lim  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
2017, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =/=  (/)
21 uni0 3891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. (/)  =  (/)
2220, 21neeqtrri 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =/=  U. (/)
23 unieq 3873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  (/)  ->  U. z  =  U. (/) )
2423neeq2d 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A  =/=  U. z  <->  A  =/=  U. (/) ) )
2522, 24mpbiri 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  A  =/=  U. z )
2625a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( z  =  (/)  ->  A  =/=  U. z
) )
27 limord 4488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
28 ordsson 4618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
A  ->  A  C_  On )
297, 27, 28mp2b 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  On
30 sstr2 3220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
C_  A  ->  ( A  C_  On  ->  z  C_  On ) )
3129, 30mpi 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  A  ->  z  C_  On )
32 ordunifi 7152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  C_  On  /\  z  e.  Fin  /\  z  =/=  (/) )  ->  U. z  e.  z )
33323expia 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  C_  On  /\  z  e.  Fin )  ->  (
z  =/=  (/)  ->  U. z  e.  z ) )
3431, 33sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  U. z  e.  z ) )
35 ssel 3208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
C_  A  ->  ( U. z  e.  z  ->  U. z  e.  A
) )
367, 27ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Ord  A
37 nordeq 4448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  U. z  e.  A )  ->  A  =/=  U. z
)
3836, 37mpan 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. z  e.  A  ->  A  =/=  U. z )
3935, 38syl6 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  A  ->  ( U. z  e.  z  ->  A  =/=  U. z
) )
4039adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( U. z  e.  z  ->  A  =/=  U. z ) )
4134, 40syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  A  =/=  U. z ) )
4226, 41pm2.61dne 2556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  A  =/=  U. z
)
4313, 42syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  A  =/=  U. z )
4443neneqd 2495 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  -.  A  =  U. z
)
4544nrex 2679 . . . . . 6  |-  -.  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z
46 unieq 3873 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  U. y  =  U. A )
4746eqeq2d 2327 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( A  =  U. y  <->  A  =  U. A ) )
48 pweq 3662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ~P y  =  ~P A
)
4948ineq1d 3403 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( ~P y  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5049rexeqdv 2777 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z
) )
5150notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z 
<->  -.  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )
5247, 51anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( A  =  U. y  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) A  = 
U. z )  <->  ( A  =  U. A  /\  -.  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z
) ) )
5352rspcev 2918 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~P suc  A  /\  ( A  = 
U. A  /\  -.  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z
) )  ->  E. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) A  = 
U. z ) )
549, 45, 53mpanr12 666 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P suc  A  ->  E. y  e.  ~P  suc  A ( A  = 
U. y  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z
) )
55 rexanali 2623 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) A  = 
U. z )  <->  -.  A. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )
5654, 55sylib 188 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P suc  A  ->  -.  A. y  e. 
~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )
573, 6, 563syl 18 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  Top  ->  -. 
A. y  e.  ~P  suc  A ( A  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) A  = 
U. z ) )
58 imnan 411 . . 3  |-  ( ( suc  A  e.  Top  ->  -.  A. y  e. 
~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )  <->  -.  ( suc  A  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) ) )
5957, 58mpbi 199 . 2  |-  -.  ( suc  A  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )
60 ordunisuc 4660 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  U. suc  A  =  A )
617, 27, 60mp2b 9 . . . 4  |-  U. suc  A  =  A
6261eqcomi 2320 . . 3  |-  A  = 
U. suc  A
6362iscmp 17171 . 2  |-  ( suc 
A  e.  Comp  <->  ( suc  A  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  suc  A
( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) ) )
6459, 63mtbir 290 1  |-  -.  suc  A  e.  Comp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   E.wrex 2578   _Vcvv 2822    i^i cin 3185    C_ wss 3186   (/)c0 3489   ~Pcpw 3659   U.cuni 3864   Ord word 4428   Oncon0 4429   Lim wlim 4430   suc csuc 4431   Fincfn 6906   Topctop 16687   Compccmp 17169
This theorem is referenced by:  limsucncmp  25271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-1o 6521  df-er 6702  df-en 6907  df-fin 6910  df-cmp 17170
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