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Theorem limsupbnd2 11957
Description: If a sequence is eventually greater than  A, then the limsup is also greater than  A. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupbnd.1  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
limsupbnd.2  |-  ( ph  ->  F : B --> RR* )
limsupbnd.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
limsupbnd2.4  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
limsupbnd2.5  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) ) )
Assertion
Ref Expression
limsupbnd2  |-  ( ph  ->  A  <_  ( limsup `  F ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k    j, F, k    ph, j, k

Proof of Theorem limsupbnd2
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupbnd2.5 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) ) )
2 limsupbnd2.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
3 limsupbnd.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
4 ressxr 8876 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR*
53, 4syl6ss 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  C_  RR* )
6 supxrunb1 10638 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  RR*  ->  ( A. n  e.  RR  E. j  e.  B  n  <_  j  <->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
75, 6syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  RR  E. j  e.  B  n  <_  j  <->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
82, 7mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR  E. j  e.  B  n  <_  j )
9 ifcl 3601 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  if ( k  <_  m ,  m , 
k )  e.  RR )
10 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  -> 
( n  <_  j  <->  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j ) )
1110rexbidv 2564 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  -> 
( E. j  e.  B  n  <_  j  <->  E. j  e.  B  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j ) )
1211rspccva 2883 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  RR  E. j  e.  B  n  <_  j  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  e.  RR )  ->  E. j  e.  B  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )
138, 9, 12syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  ->  E. j  e.  B  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )
14 r19.29 2683 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  E. j  e.  B  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  E. j  e.  B  ( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j ) )
15 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  k  e.  RR )
16 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  ->  m  e.  RR )
1716adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  m  e.  RR )
18 max1 10514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  k  <_  if (
k  <_  m ,  m ,  k )
)
1915, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  k  <_  if ( k  <_  m ,  m , 
k ) )
2017, 15, 9syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  e.  RR )
213adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  ->  B  C_  RR )
2221sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  j  e.  RR )
23 letr 8914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  (
( k  <_  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_ 
j )  ->  k  <_  j ) )
2415, 20, 22, 23syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( k  <_  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_ 
j )  ->  k  <_  j ) )
2519, 24mpand 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  ( if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j  ->  k  <_  j ) )
2625imim1d 69 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  -> 
( if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) ) ) )
2726imp3a 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  A  <_  ( F `  j
) ) )
28 max2 10516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  m  <_  if (
k  <_  m ,  m ,  k )
)
2915, 17, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  m  <_  if ( k  <_  m ,  m , 
k ) )
30 letr 8914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  RR  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  (
( m  <_  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_ 
j )  ->  m  <_  j ) )
3117, 20, 22, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( m  <_  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_ 
j )  ->  m  <_  j ) )
3229, 31mpand 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  ( if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j  ->  m  <_  j ) )
3332adantld 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  m  <_  j ) )
34 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
3534limsupgf 11949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) : RR --> RR*
3635ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  RR  ->  (
( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )
3736adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )
38 xrleid 10484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR*  ->  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )
4039adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )
41 limsupbnd.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : B --> RR* )
4241adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  ->  F : B --> RR* )
4316, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )
4434limsupgle 11951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  F : B --> RR* )  /\  m  e.  RR  /\  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )  ->  (
( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <->  A. j  e.  B  ( m  <_  j  -> 
( F `  j
)  <_  ( (
n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) ) )
4521, 42, 16, 43, 44syl211anc 1188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <->  A. j  e.  B  ( m  <_  j  -> 
( F `  j
)  <_  ( (
n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) ) )
4640, 45mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  ->  A. j  e.  B  ( m  <_  j  -> 
( F `  j
)  <_  ( (
n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
4746r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
m  <_  j  ->  ( F `  j )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
4833, 47syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  ( F `  j )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
4927, 48jcad 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  ( A  <_  ( F `  j )  /\  ( F `  j )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) ) )
50 limsupbnd.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
5150ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  A  e.  RR* )
52 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : B --> RR*  /\  j  e.  B )  ->  ( F `  j )  e.  RR* )
5342, 52sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  ( F `  j )  e.  RR* )
5443adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )
55 xrletr 10489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( F `  j )  e.  RR*  /\  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )  ->  (
( A  <_  ( F `  j )  /\  ( F `  j
)  <_  ( (
n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
5651, 53, 54, 55syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( A  <_  ( F `  j )  /\  ( F `  j
)  <_  ( (
n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
5749, 56syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
5857rexlimdva 2667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( E. j  e.  B  ( ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j
) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
5914, 58syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( ( A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  E. j  e.  B  if (
k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
6013, 59mpan2d 655 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( A. j  e.  B  ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
6160anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  RR )  ->  ( A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
6261rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. k  e.  RR  A. j  e.  B  (
k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
6362ralrimdva 2633 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  ->  A. m  e.  RR  A  <_  (
( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
641, 63mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  RR  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )
6534limsuple 11952 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  F : B --> RR*  /\  A  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  ( limsup `  F
)  <->  A. m  e.  RR  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
663, 41, 50, 65syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  ( limsup `
 F )  <->  A. m  e.  RR  A  <_  (
( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
6764, 66mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  A  <_  ( limsup `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   [,)cico 10658   limsupclsp 11944
This theorem is referenced by:  caucvgrlem  12145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-ico 10662  df-limsup 11945
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