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Theorem limsupbnd2 12277
Description: If a sequence is eventually greater than  A, then the limsup is also greater than  A. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupbnd.1  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
limsupbnd.2  |-  ( ph  ->  F : B --> RR* )
limsupbnd.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
limsupbnd2.4  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
limsupbnd2.5  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) ) )
Assertion
Ref Expression
limsupbnd2  |-  ( ph  ->  A  <_  ( limsup `  F ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k    j, F, k    ph, j, k

Proof of Theorem limsupbnd2
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupbnd2.5 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) ) )
2 limsupbnd2.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
3 limsupbnd.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
4 ressxr 9129 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR*
53, 4syl6ss 3360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  C_  RR* )
6 supxrunb1 10898 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  RR*  ->  ( A. n  e.  RR  E. j  e.  B  n  <_  j  <->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  RR  E. j  e.  B  n  <_  j  <->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
82, 7mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR  E. j  e.  B  n  <_  j )
9 ifcl 3775 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  if ( k  <_  m ,  m , 
k )  e.  RR )
10 breq1 4215 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  -> 
( n  <_  j  <->  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j ) )
1110rexbidv 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  -> 
( E. j  e.  B  n  <_  j  <->  E. j  e.  B  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j ) )
1211rspccva 3051 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  RR  E. j  e.  B  n  <_  j  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  e.  RR )  ->  E. j  e.  B  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )
138, 9, 12syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  ->  E. j  e.  B  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )
14 r19.29 2846 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  E. j  e.  B  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  E. j  e.  B  ( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j ) )
15 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  k  e.  RR )
16 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  ->  m  e.  RR )
1716adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  m  e.  RR )
18 max1 10773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  k  <_  if (
k  <_  m ,  m ,  k )
)
1915, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  k  <_  if ( k  <_  m ,  m , 
k ) )
2017, 15, 9syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  e.  RR )
213adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  ->  B  C_  RR )
2221sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  j  e.  RR )
23 letr 9167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  (
( k  <_  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_ 
j )  ->  k  <_  j ) )
2415, 20, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( k  <_  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_ 
j )  ->  k  <_  j ) )
2519, 24mpand 657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  ( if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j  ->  k  <_  j ) )
2625imim1d 71 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  -> 
( if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) ) ) )
2726imp3a 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  A  <_  ( F `  j
) ) )
28 max2 10775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  m  <_  if (
k  <_  m ,  m ,  k )
)
2915, 17, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  m  <_  if ( k  <_  m ,  m , 
k ) )
30 letr 9167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  RR  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  (
( m  <_  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_ 
j )  ->  m  <_  j ) )
3117, 20, 22, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( m  <_  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_ 
j )  ->  m  <_  j ) )
3229, 31mpand 657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  ( if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j  ->  m  <_  j ) )
3332adantld 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  m  <_  j ) )
34 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
3534limsupgf 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) : RR --> RR*
3635ffvelrni 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  RR  ->  (
( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )
3736adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )
38 xrleid 10743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR*  ->  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )
4039adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )
41 limsupbnd.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : B --> RR* )
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  ->  F : B --> RR* )
4316, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )
4434limsupgle 12271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  F : B --> RR* )  /\  m  e.  RR  /\  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )  ->  (
( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <->  A. j  e.  B  ( m  <_  j  -> 
( F `  j
)  <_  ( (
n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) ) )
4521, 42, 16, 43, 44syl211anc 1190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <->  A. j  e.  B  ( m  <_  j  -> 
( F `  j
)  <_  ( (
n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) ) )
4640, 45mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  ->  A. j  e.  B  ( m  <_  j  -> 
( F `  j
)  <_  ( (
n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
4746r19.21bi 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
m  <_  j  ->  ( F `  j )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
4833, 47syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  ( F `  j )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
4927, 48jcad 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  ( A  <_  ( F `  j )  /\  ( F `  j )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) ) )
50 limsupbnd.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
5150ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  A  e.  RR* )
5242ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  ( F `  j )  e.  RR* )
5343adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )
54 xrletr 10748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( F `  j )  e.  RR*  /\  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )  ->  (
( A  <_  ( F `  j )  /\  ( F `  j
)  <_  ( (
n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
5551, 52, 53, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( A  <_  ( F `  j )  /\  ( F `  j
)  <_  ( (
n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
5649, 55syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
5756rexlimdva 2830 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( E. j  e.  B  ( ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j
) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
5814, 57syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( ( A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  E. j  e.  B  if (
k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
5913, 58mpan2d 656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( A. j  e.  B  ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
6059anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  RR )  ->  ( A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
6160rexlimdva 2830 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. k  e.  RR  A. j  e.  B  (
k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
6261ralrimdva 2796 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  ->  A. m  e.  RR  A  <_  (
( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
631, 62mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  RR  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )
6434limsuple 12272 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  F : B --> RR*  /\  A  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  ( limsup `  F
)  <->  A. m  e.  RR  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
653, 41, 50, 64syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  ( limsup `
 F )  <->  A. m  e.  RR  A  <_  (
( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
6663, 65mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  A  <_  ( limsup `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   "cima 4881   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   RRcr 8989    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121   [,)cico 10918   limsupclsp 12264
This theorem is referenced by:  caucvgrlem  12466
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-ico 10922  df-limsup 12265
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