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Theorem limsupbnd2 12277
 Description: If a sequence is eventually greater than , then the limsup is also greater than . (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupbnd.1
limsupbnd.2
limsupbnd.3
limsupbnd2.4
limsupbnd2.5
Assertion
Ref Expression
limsupbnd2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem limsupbnd2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupbnd2.5 . . 3
2 limsupbnd2.4 . . . . . . . . 9
3 limsupbnd.1 . . . . . . . . . . 11
4 ressxr 9129 . . . . . . . . . . 11
53, 4syl6ss 3360 . . . . . . . . . 10
6 supxrunb1 10898 . . . . . . . . . 10
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9
82, 7mpbird 224 . . . . . . . 8
9 ifcl 3775 . . . . . . . 8
10 breq1 4215 . . . . . . . . . 10
1110rexbidv 2726 . . . . . . . . 9
1211rspccva 3051 . . . . . . . 8
138, 9, 12syl2an 464 . . . . . . 7
14 r19.29 2846 . . . . . . . 8
15 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1716adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
18 max1 10773 . . . . . . . . . . . . . . 15
1915, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
2017, 15, 9syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
213adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 letr 9167 . . . . . . . . . . . . . . 15
2415, 20, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
2519, 24mpand 657 . . . . . . . . . . . . 13
2625imim1d 71 . . . . . . . . . . . 12
2726imp3a 421 . . . . . . . . . . 11
28 max2 10775 . . . . . . . . . . . . . . 15
2915, 17, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
30 letr 9167 . . . . . . . . . . . . . . 15
3117, 20, 22, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
3229, 31mpand 657 . . . . . . . . . . . . 13
3332adantld 454 . . . . . . . . . . . 12
34 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3534limsupgf 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3635ffvelrni 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3736adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
38 xrleid 10743 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14
41 limsupbnd.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
4316, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
4434limsupgle 12271 . . . . . . . . . . . . . . 15
4521, 42, 16, 43, 44syl211anc 1190 . . . . . . . . . . . . . 14
4640, 45mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13
4746r19.21bi 2804 . . . . . . . . . . . 12
4833, 47syld 42 . . . . . . . . . . 11
4927, 48jcad 520 . . . . . . . . . 10
50 limsupbnd.3 . . . . . . . . . . . 12
5150ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
5242ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . 11
5343adantr 452 . . . . . . . . . . 11
54 xrletr 10748 . . . . . . . . . . 11
5551, 52, 53, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
5649, 55syld 42 . . . . . . . . 9
5756rexlimdva 2830 . . . . . . . 8
5814, 57syl5 30 . . . . . . 7
5913, 58mpan2d 656 . . . . . 6
6059anassrs 630 . . . . 5
6160rexlimdva 2830 . . . 4
6261ralrimdva 2796 . . 3
631, 62mpd 15 . 2
6434limsuple 12272 . . 3
653, 41, 50, 64syl3anc 1184 . 2
6663, 65mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706   cin 3319   wss 3320  cif 3739   class class class wbr 4212   cmpt 4266  cima 4881  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  csup 7445  cr 8989   cpnf 9117  cxr 9119   clt 9120   cle 9121  cico 10918  clsp 12264 This theorem is referenced by:  caucvgrlem  12466 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-ico 10922  df-limsup 12265
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