MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupgf Unicode version

Theorem limsupgf 12232
Description: Closure of the superior limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupval.1  |-  G  =  ( k  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( k [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
limsupgf  |-  G : RR
--> RR*
Distinct variable group:    k, F
Allowed substitution hint:    G( k)

Proof of Theorem limsupgf
StepHypRef Expression
1 limsupval.1 . 2  |-  G  =  ( k  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( k [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
2 inss2 3530 . . 3  |-  ( ( F " ( k [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  C_  RR*
3 supxrcl 10857 . . 3  |-  ( ( ( F " (
k [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  C_  RR*  ->  sup ( ( ( F
" ( k [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
42, 3mp1i 12 . 2  |-  ( k  e.  RR  ->  sup ( ( ( F
" ( k [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
51, 4fmpti 5859 1  |-  G : RR
--> RR*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1721    i^i cin 3287    C_ wss 3288    e. cmpt 4234   "cima 4848   -->wf 5417  (class class class)co 6048   supcsup 7411   RRcr 8953    +oocpnf 9081   RR*cxr 9083    < clt 9084   [,)cico 10882
This theorem is referenced by:  limsuple  12235  limsuplt  12236  limsupval2  12237  limsupgre  12238  limsupbnd1  12239  limsupbnd2  12240  mbflimsup  19519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258
  Copyright terms: Public domain W3C validator