Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupgle Structured version   Unicode version

Theorem limsupgle 12271
 Description: The defining property of the superior limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupval.1
Assertion
Ref Expression
limsupgle
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem limsupgle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupval.1 . . . . 5
21limsupgval 12270 . . . 4
43breq1d 4222 . 2
5 inss2 3562 . . 3
6 simp3 959 . . 3
7 supxrleub 10905 . . 3
85, 6, 7sylancr 645 . 2
9 imassrn 5216 . . . . . . 7
10 simp1r 982 . . . . . . . 8
11 frn 5597 . . . . . . . 8
1210, 11syl 16 . . . . . . 7
139, 12syl5ss 3359 . . . . . 6
14 df-ss 3334 . . . . . 6
1513, 14sylib 189 . . . . 5
16 imadmres 5362 . . . . 5
1715, 16syl6eqr 2486 . . . 4
1817raleqdv 2910 . . 3
19 ffn 5591 . . . . 5
2010, 19syl 16 . . . 4
21 fdm 5595 . . . . . . . 8
2210, 21syl 16 . . . . . . 7
2322ineq2d 3542 . . . . . 6
24 dmres 5167 . . . . . 6
25 incom 3533 . . . . . 6
2623, 24, 253eqtr4g 2493 . . . . 5
27 inss1 3561 . . . . 5
2826, 27syl6eqss 3398 . . . 4
29 breq1 4215 . . . . 5
3029ralima 5978 . . . 4
3120, 28, 30syl2anc 643 . . 3
3226eleq2d 2503 . . . . . . . 8
33 elin 3530 . . . . . . . 8
3432, 33syl6bb 253 . . . . . . 7
35 simpl2 961 . . . . . . . . 9
36 simp1l 981 . . . . . . . . . 10
3736sselda 3348 . . . . . . . . 9
38 elicopnf 11000 . . . . . . . . . 10
3938baibd 876 . . . . . . . . 9
4035, 37, 39syl2anc 643 . . . . . . . 8
4140pm5.32da 623 . . . . . . 7
4234, 41bitrd 245 . . . . . 6
4342imbi1d 309 . . . . 5
44 impexp 434 . . . . 5
4543, 44syl6bb 253 . . . 4
4645ralbidv2 2727 . . 3
4718, 31, 463bitrd 271 . 2
484, 8, 473bitrd 271 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705   cin 3319   wss 3320   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cdm 4878   crn 4879   cres 4880  cima 4881   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  csup 7445  cr 8989   cpnf 9117  cxr 9119   clt 9120   cle 9121  cico 10918 This theorem is referenced by:  limsupgre  12275  limsupbnd1  12276  limsupbnd2  12277  mbflimsup  19558 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-ico 10922
 Copyright terms: Public domain W3C validator