Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupgle Unicode version

Theorem limsupgle 11967
 Description: The defining property of the superior limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupval.1
Assertion
Ref Expression
limsupgle
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem limsupgle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupval.1 . . . . 5
21limsupgval 11966 . . . 4
323ad2ant2 977 . . 3
43breq1d 4049 . 2
5 inss2 3403 . . 3
6 simp3 957 . . 3
7 supxrleub 10661 . . 3
85, 6, 7sylancr 644 . 2
9 imassrn 5041 . . . . . . 7
10 simp1r 980 . . . . . . . 8
11 frn 5411 . . . . . . . 8
1210, 11syl 15 . . . . . . 7
139, 12syl5ss 3203 . . . . . 6
14 df-ss 3179 . . . . . 6
1513, 14sylib 188 . . . . 5
16 imadmres 5181 . . . . 5
1715, 16syl6eqr 2346 . . . 4
1817raleqdv 2755 . . 3
19 ffn 5405 . . . . 5
2010, 19syl 15 . . . 4
21 fdm 5409 . . . . . . . 8
2210, 21syl 15 . . . . . . 7
2322ineq2d 3383 . . . . . 6
24 dmres 4992 . . . . . 6
25 incom 3374 . . . . . 6
2623, 24, 253eqtr4g 2353 . . . . 5
27 inss1 3402 . . . . . 6
2827a1i 10 . . . . 5
2926, 28eqsstrd 3225 . . . 4
30 breq1 4042 . . . . 5
3130ralima 5774 . . . 4
3220, 29, 31syl2anc 642 . . 3
3326eleq2d 2363 . . . . . . . 8
34 elin 3371 . . . . . . . 8
3533, 34syl6bb 252 . . . . . . 7
36 simpl2 959 . . . . . . . . 9
37 simp1l 979 . . . . . . . . . 10
3837sselda 3193 . . . . . . . . 9
39 elicopnf 10755 . . . . . . . . . 10
4039baibd 875 . . . . . . . . 9
4136, 38, 40syl2anc 642 . . . . . . . 8
4241pm5.32da 622 . . . . . . 7
4335, 42bitrd 244 . . . . . 6
4443imbi1d 308 . . . . 5
45 impexp 433 . . . . 5
4644, 45syl6bb 252 . . . 4
4746ralbidv2 2578 . . 3
4818, 32, 473bitrd 270 . 2
494, 8, 483bitrd 270 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556   cin 3164   wss 3165   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cdm 4705   crn 4706   cres 4707  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  csup 7209  cr 8752   cpnf 8880  cxr 8882   clt 8883   cle 8884  cico 10674 This theorem is referenced by:  limsupgre  11971  limsupbnd1  11972  limsupbnd2  11973  mbflimsup  19037 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-ico 10678
 Copyright terms: Public domain W3C validator