Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupval2 Unicode version

Theorem limsupval2 11954
 Description: The superior limit, relativized to an unbounded set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval.1
limsupval2.1
limsupval2.2
limsupval2.3
Assertion
Ref Expression
limsupval2
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem limsupval2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupval2.1 . . 3
2 limsupval.1 . . . 4
32limsupval 11948 . . 3
41, 3syl 15 . 2
5 imassrn 5025 . . . . 5
62limsupgf 11949 . . . . . . 7
7 frn 5395 . . . . . . 7
86, 7ax-mp 8 . . . . . 6
9 infmxrlb 10652 . . . . . . 7
109ralrimiva 2626 . . . . . 6
118, 10mp1i 11 . . . . 5
12 ssralv 3237 . . . . 5
135, 11, 12mpsyl 59 . . . 4
145, 8sstri 3188 . . . . 5
15 infmxrcl 10635 . . . . . 6
168, 15ax-mp 8 . . . . 5
17 infmxrgelb 10653 . . . . 5
1814, 16, 17mp2an 653 . . . 4
1913, 18sylibr 203 . . 3
20 limsupval2.3 . . . . . . 7
21 limsupval2.2 . . . . . . . . 9
22 ressxr 8876 . . . . . . . . 9
2321, 22syl6ss 3191 . . . . . . . 8
24 supxrunb1 10638 . . . . . . . 8
2523, 24syl 15 . . . . . . 7
2620, 25mpbird 223 . . . . . 6
27 infmxrcl 10635 . . . . . . . . . . 11
2814, 27mp1i 11 . . . . . . . . . 10
2921sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12
3029ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . 11
316ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . 11
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . 10
336ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . 11
3433ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10
35 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13
366, 35mp1i 11 . . . . . . . . . . . 12
3721ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
38 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12
39 fnfvima 5756 . . . . . . . . . . . 12
4036, 37, 38, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
41 infmxrlb 10652 . . . . . . . . . . 11
4214, 40, 41sylancr 644 . . . . . . . . . 10
43 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12
44 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12
45 limsupgord 11946 . . . . . . . . . . . 12
4643, 30, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
472limsupgval 11950 . . . . . . . . . . . 12
4830, 47syl 15 . . . . . . . . . . 11
492limsupgval 11950 . . . . . . . . . . . 12
5049ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11
5146, 48, 503brtr4d 4053 . . . . . . . . . 10
5228, 32, 34, 42, 51xrletrd 10493 . . . . . . . . 9
5352expr 598 . . . . . . . 8
5453rexlimdva 2667 . . . . . . 7
5554ralimdva 2621 . . . . . 6
5626, 55mpd 14 . . . . 5
576, 35ax-mp 8 . . . . . 6
58 breq2 4027 . . . . . . 7
5958ralrn 5668 . . . . . 6
6057, 59ax-mp 8 . . . . 5
6156, 60sylibr 203 . . . 4
6214, 27ax-mp 8 . . . . 5
63 infmxrgelb 10653 . . . . 5
648, 62, 63mp2an 653 . . . 4
6561, 64sylibr 203 . . 3
66 xrletri3 10486 . . . 4
6716, 62, 66mp2an 653 . . 3
6819, 65, 67sylanbrc 645 . 2
694, 68eqtrd 2315 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544   cin 3151   wss 3152   class class class wbr 4023   cmpt 4077  ccnv 4688   crn 4690  cima 4692   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  csup 7193  cr 8736   cpnf 8864  cxr 8866   clt 8867   cle 8868  cico 10658  clsp 11944 This theorem is referenced by:  mbflimsup  19021 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-ico 10662  df-limsup 11945
 Copyright terms: Public domain W3C validator