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Theorem limuni3 4835
Description: The union of a nonempty class of limit ordinals is a limit ordinal. (Contributed by NM, 1-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
limuni3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  Lim  U. A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem limuni3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limeq 4596 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( Lim  x  <->  Lim  z ) )
21rspcv 3050 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  Lim  z ) )
3 vex 2961 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
4 limelon 4647 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  _V  /\  Lim  z )  ->  z  e.  On )
53, 4mpan 653 . . . . . 6  |-  ( Lim  z  ->  z  e.  On )
62, 5syl6com 34 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  On ) )
76ssrdv 3356 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  A  C_  On )
8 ssorduni 4769 . . . 4  |-  ( A 
C_  On  ->  Ord  U. A )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  Ord  U. A )
109adantl 454 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  Ord  U. A )
11 n0 3639 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
12 0ellim 4646 . . . . . . 7  |-  ( Lim  z  ->  (/)  e.  z )
13 elunii 4022 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  z  /\  z  e.  A )  -> 
(/)  e.  U. A )
1413expcom 426 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( (/) 
e.  z  ->  (/)  e.  U. A ) )
1512, 14syl5 31 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  ->  ( Lim  z  ->  (/)  e.  U. A ) )
162, 15syld 43 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  (/)  e.  U. A ) )
1716exlimiv 1645 . . . 4  |-  ( E. z  z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  (/) 
e.  U. A ) )
1811, 17sylbi 189 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  (/)  e.  U. A
) )
1918imp 420 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  (/)  e.  U. A )
20 eluni2 4021 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. z  e.  A  y  e.  z )
211rspccv 3051 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( z  e.  A  ->  Lim  z ) )
22 limsuc 4832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  z  ->  ( y  e.  z  <->  suc  y  e.  z ) )
2322anbi1d 687 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  z  ->  ( (
y  e.  z  /\  z  e.  A )  <->  ( suc  y  e.  z  /\  z  e.  A
) ) )
24 elunii 4022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  y  e.  z  /\  z  e.  A
)  ->  suc  y  e. 
U. A )
2523, 24syl6bi 221 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  z  ->  ( (
y  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  suc  y  e.  U. A ) )
2625exp3a 427 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  z  ->  ( y  e.  z  ->  ( z  e.  A  ->  suc  y  e.  U. A ) ) )
2726com3r 76 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( Lim  z  ->  ( y  e.  z  ->  suc  y  e.  U. A ) ) )
2821, 27sylcom 28 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( z  e.  A  ->  ( y  e.  z  ->  suc  y  e.  U. A ) ) )
2928rexlimdv 2831 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( E. z  e.  A  y  e.  z  ->  suc  y  e.  U. A ) )
3020, 29syl5bi 210 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( y  e. 
U. A  ->  suc  y  e.  U. A ) )
3130ralrimiv 2790 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  A. y  e.  U. A  suc  y  e.  U. A )
3231adantl 454 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  A. y  e.  U. A  suc  y  e.  U. A )
33 dflim4 4831 . 2  |-  ( Lim  U. A  <->  ( Ord  U. A  /\  (/)  e.  U. A  /\  A. y  e.  U. A  suc  y  e.  U. A ) )
3410, 19, 32, 33syl3anbrc 1139 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  Lim  U. A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017   Ord word 4583   Oncon0 4584   Lim wlim 4585   suc csuc 4586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590
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