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Theorem limuni3 4680
Description: The union of a nonempty class of limit ordinals is a limit ordinal. (Contributed by NM, 1-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
limuni3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  Lim  U. A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem limuni3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limeq 4441 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( Lim  x  <->  Lim  z ) )
21rspcv 2914 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  Lim  z ) )
3 vex 2825 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
4 limelon 4492 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  _V  /\  Lim  z )  ->  z  e.  On )
53, 4mpan 651 . . . . . 6  |-  ( Lim  z  ->  z  e.  On )
62, 5syl6com 31 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  On ) )
76ssrdv 3219 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  A  C_  On )
8 ssorduni 4614 . . . 4  |-  ( A 
C_  On  ->  Ord  U. A )
97, 8syl 15 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  Ord  U. A )
109adantl 452 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  Ord  U. A )
11 n0 3498 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
12 0ellim 4491 . . . . . . 7  |-  ( Lim  z  ->  (/)  e.  z )
13 elunii 3869 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  z  /\  z  e.  A )  -> 
(/)  e.  U. A )
1413expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( (/) 
e.  z  ->  (/)  e.  U. A ) )
1512, 14syl5 28 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  ->  ( Lim  z  ->  (/)  e.  U. A ) )
162, 15syld 40 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  (/)  e.  U. A ) )
1716exlimiv 1625 . . . 4  |-  ( E. z  z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  (/) 
e.  U. A ) )
1811, 17sylbi 187 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  (/)  e.  U. A
) )
1918imp 418 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  (/)  e.  U. A )
20 eluni2 3868 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. z  e.  A  y  e.  z )
211rspccv 2915 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( z  e.  A  ->  Lim  z ) )
22 limsuc 4677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  z  ->  ( y  e.  z  <->  suc  y  e.  z ) )
2322anbi1d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  z  ->  ( (
y  e.  z  /\  z  e.  A )  <->  ( suc  y  e.  z  /\  z  e.  A
) ) )
24 elunii 3869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  y  e.  z  /\  z  e.  A
)  ->  suc  y  e. 
U. A )
2523, 24syl6bi 219 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  z  ->  ( (
y  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  suc  y  e.  U. A ) )
2625exp3a 425 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  z  ->  ( y  e.  z  ->  ( z  e.  A  ->  suc  y  e.  U. A ) ) )
2726com3r 73 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( Lim  z  ->  ( y  e.  z  ->  suc  y  e.  U. A ) ) )
2821, 27sylcom 25 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( z  e.  A  ->  ( y  e.  z  ->  suc  y  e.  U. A ) ) )
2928rexlimdv 2700 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( E. z  e.  A  y  e.  z  ->  suc  y  e.  U. A ) )
3020, 29syl5bi 208 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( y  e. 
U. A  ->  suc  y  e.  U. A ) )
3130ralrimiv 2659 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  A. y  e.  U. A  suc  y  e.  U. A )
3231adantl 452 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  A. y  e.  U. A  suc  y  e.  U. A )
33 dflim4 4676 . 2  |-  ( Lim  U. A  <->  ( Ord  U. A  /\  (/)  e.  U. A  /\  A. y  e.  U. A  suc  y  e.  U. A ) )
3410, 19, 32, 33syl3anbrc 1136 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  Lim  U. A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1532    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   E.wrex 2578   _Vcvv 2822    C_ wss 3186   (/)c0 3489   U.cuni 3864   Ord word 4428   Oncon0 4429   Lim wlim 4430   suc csuc 4431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435
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