Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindff1 Structured version   Unicode version

Theorem lindff1 27258
 Description: A linearly independent family over a nonzero ring has no repeated elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindff1.b
lindff1.l Scalar
Assertion
Ref Expression
lindff1 NzRing LIndF

Proof of Theorem lindff1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 959 . . 3 NzRing LIndF LIndF
2 simp1 957 . . 3 NzRing LIndF
3 lindff1.b . . . 4
43lindff 27253 . . 3 LIndF
51, 2, 4syl2anc 643 . 2 NzRing LIndF
6 simpl1 960 . . . . . . . 8 NzRing LIndF
7 imassrn 5208 . . . . . . . . . 10
8 frn 5589 . . . . . . . . . . 11
95, 8syl 16 . . . . . . . . . 10 NzRing LIndF
107, 9syl5ss 3351 . . . . . . . . 9 NzRing LIndF
1110adantr 452 . . . . . . . 8 NzRing LIndF
12 eqid 2435 . . . . . . . . 9
133, 12lspssid 16053 . . . . . . . 8
146, 11, 13syl2anc 643 . . . . . . 7 NzRing LIndF
15 ffun 5585 . . . . . . . . . . 11
165, 15syl 16 . . . . . . . . . 10 NzRing LIndF
1716adantr 452 . . . . . . . . 9 NzRing LIndF
18 simprll 739 . . . . . . . . 9 NzRing LIndF
1917, 18jca 519 . . . . . . . 8 NzRing LIndF
20 eldifsn 3919 . . . . . . . . . . 11
2120biimpri 198 . . . . . . . . . 10
2221adantlr 696 . . . . . . . . 9
2322adantl 453 . . . . . . . 8 NzRing LIndF
24 funfvima 5965 . . . . . . . 8
2519, 23, 24sylc 58 . . . . . . 7 NzRing LIndF
2614, 25sseldd 3341 . . . . . 6 NzRing LIndF
27 simpl2 961 . . . . . . 7 NzRing LIndF NzRing
28 simpl3 962 . . . . . . 7 NzRing LIndF LIndF
29 simprlr 740 . . . . . . 7 NzRing LIndF
30 lindff1.l . . . . . . . 8 Scalar
3112, 30lindfind2 27256 . . . . . . 7 NzRing LIndF
326, 27, 28, 29, 31syl211anc 1190 . . . . . 6 NzRing LIndF
33 nelne2 2688 . . . . . 6
3426, 32, 33syl2anc 643 . . . . 5 NzRing LIndF
3534expr 599 . . . 4 NzRing LIndF
3635necon4d 2661 . . 3 NzRing LIndF
3736ralrimivva 2790 . 2 NzRing LIndF
38 dff13 5996 . 2
395, 37, 38sylanbrc 646 1 NzRing LIndF
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697   cdif 3309   wss 3312  csn 3806   class class class wbr 4204   cdm 4870   crn 4871  cima 4873   wfun 5440  wf 5442  wf1 5443  cfv 5446  cbs 13461  Scalarcsca 13524  clmod 15942  clspn 16039  NzRingcnzr 16320   LIndF clindf 27242 This theorem is referenced by:  islindf3  27264 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-nzr 16321  df-lindf 27244
 Copyright terms: Public domain W3C validator