Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindfind2 Structured version   Unicode version

Theorem lindfind2 27266
Description: In a linearly independent family in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfind2.k  |-  K  =  ( LSpan `  W )
lindfind2.l  |-  L  =  (Scalar `  W )
Assertion
Ref Expression
lindfind2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F LIndF  W  /\  E  e.  dom  F )  ->  -.  ( F `  E )  e.  ( K `  ( F " ( dom  F  \  { E } ) ) ) )

Proof of Theorem lindfind2
StepHypRef Expression
1 simp1l 982 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F LIndF  W  /\  E  e.  dom  F )  ->  W  e.  LMod )
2 simp2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F LIndF  W  /\  E  e.  dom  F )  ->  F LIndF  W )
3 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
43lindff 27263 . . . . 5  |-  ( ( F LIndF  W  /\  W  e.  LMod )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W ) )
52, 1, 4syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F LIndF  W  /\  E  e.  dom  F )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W
) )
6 simp3 960 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F LIndF  W  /\  E  e.  dom  F )  ->  E  e.  dom  F )
75, 6ffvelrnd 5872 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F LIndF  W  /\  E  e.  dom  F )  ->  ( F `  E )  e.  (
Base `  W )
)
8 lindfind2.l . . . 4  |-  L  =  (Scalar `  W )
9 eqid 2437 . . . 4  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
10 eqid 2437 . . . 4  |-  ( 1r
`  L )  =  ( 1r `  L
)
113, 8, 9, 10lmodvs1 15979 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( F `  E )  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( 1r `  L
) ( .s `  W ) ( F `
 E ) )  =  ( F `  E ) )
121, 7, 11syl2anc 644 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F LIndF  W  /\  E  e.  dom  F )  ->  ( ( 1r `  L ) ( .s `  W ) ( F `  E
) )  =  ( F `  E ) )
13 nzrrng 16333 . . . . . 6  |-  ( L  e. NzRing  ->  L  e.  Ring )
14 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
1514, 10rngidcl 15685 . . . . . 6  |-  ( L  e.  Ring  ->  ( 1r
`  L )  e.  ( Base `  L
) )
1613, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( L  e. NzRing  ->  ( 1r `  L )  e.  (
Base `  L )
)
1716adantl 454 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  ->  ( 1r `  L )  e.  (
Base `  L )
)
18173ad2ant1 979 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F LIndF  W  /\  E  e.  dom  F )  ->  ( 1r `  L )  e.  (
Base `  L )
)
19 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
2010, 19nzrnz 16332 . . . . 5  |-  ( L  e. NzRing  ->  ( 1r `  L )  =/=  ( 0g `  L ) )
2120adantl 454 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  ->  ( 1r `  L )  =/=  ( 0g `  L ) )
22213ad2ant1 979 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F LIndF  W  /\  E  e.  dom  F )  ->  ( 1r `  L )  =/=  ( 0g `  L ) )
23 lindfind2.k . . . 4  |-  K  =  ( LSpan `  W )
249, 23, 8, 19, 14lindfind 27264 . . 3  |-  ( ( ( F LIndF  W  /\  E  e.  dom  F )  /\  ( ( 1r
`  L )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( 1r `  L )  =/=  ( 0g `  L ) ) )  ->  -.  (
( 1r `  L
) ( .s `  W ) ( F `
 E ) )  e.  ( K `  ( F " ( dom 
F  \  { E } ) ) ) )
252, 6, 18, 22, 24syl22anc 1186 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F LIndF  W  /\  E  e.  dom  F )  ->  -.  (
( 1r `  L
) ( .s `  W ) ( F `
 E ) )  e.  ( K `  ( F " ( dom 
F  \  { E } ) ) ) )
2612, 25eqneltrrd 2531 1  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F LIndF  W  /\  E  e.  dom  F )  ->  -.  ( F `  E )  e.  ( K `  ( F " ( dom  F  \  { E } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600    \ cdif 3318   {csn 3815   class class class wbr 4213   dom cdm 4879   "cima 4882   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470  Scalarcsca 13533   .scvsca 13534   0gc0g 13724   Ringcrg 15661   1rcur 15663   LModclmod 15951   LSpanclspn 16048  NzRingcnzr 16329   LIndF clindf 27252
This theorem is referenced by:  lindsind2  27267  lindff1  27268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-plusg 13543  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-lmod 15953  df-nzr 16330  df-lindf 27254
  Copyright terms: Public domain W3C validator