Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindfmm Structured version   Unicode version

Theorem lindfmm 27274
 Description: Linear independence of a family is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfmm.b
lindfmm.c
Assertion
Ref Expression
lindfmm LMHom LIndF LIndF

Proof of Theorem lindfmm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rellindf 27255 . . . . 5 LIndF
21brrelexi 4918 . . . 4 LIndF
3 simp3 959 . . . 4 LMHom
4 dmfex 5626 . . . 4
52, 3, 4syl2anr 465 . . 3 LMHom LIndF
65ex 424 . 2 LMHom LIndF
71brrelexi 4918 . . . 4 LIndF
8 f1f 5639 . . . . . 6
9 fco 5600 . . . . . 6
108, 9sylan 458 . . . . 5
11103adant1 975 . . . 4 LMHom
12 dmfex 5626 . . . 4
137, 11, 12syl2anr 465 . . 3 LMHom LIndF
1413ex 424 . 2 LMHom LIndF
15 eldifi 3469 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar Scalar
16 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13 LMHom Scalar
17 lmhmlmod1 16109 . . . . . . . . . . . . . . 15 LMHom
1817ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 LMHom Scalar
19 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 LMHom Scalar Scalar
20 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15 LMHom
21 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
22 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15
2320, 21, 22syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14 LMHom Scalar
24 lindfmm.b . . . . . . . . . . . . . . 15
25 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
26 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
2824, 25, 26, 27lmodvscl 15967 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
2918, 19, 23, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13 LMHom Scalar
30 imassrn 5216 . . . . . . . . . . . . . . . 16
31 frn 5597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3231adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3330, 32syl5ss 3359 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 LMHom Scalar
35 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15
3624, 35lspssv 16059 . . . . . . . . . . . . . 14
3718, 34, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 LMHom Scalar
38 f1elima 6009 . . . . . . . . . . . . 13
3916, 29, 37, 38syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12 LMHom Scalar
40 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . 15 LMHom Scalar LMHom
41 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4225, 27, 24, 26, 41lmhmlin 16111 . . . . . . . . . . . . . . 15 LMHom Scalar
4340, 19, 23, 42syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 LMHom Scalar
44 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4544ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 LMHom
46 fvco2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4745, 21, 46syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 LMHom Scalar
4847oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . 14 LMHom Scalar
4943, 48eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . 13 LMHom Scalar
50 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5124, 35, 50lmhmlsp 16125 . . . . . . . . . . . . . . 15 LMHom
5240, 34, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14 LMHom Scalar
53 imaco 5375 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453fveq2i 5731 . . . . . . . . . . . . . 14
5552, 54syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . 13 LMHom Scalar
5649, 55eleq12d 2504 . . . . . . . . . . . 12 LMHom Scalar
5739, 56bitr3d 247 . . . . . . . . . . 11 LMHom Scalar
5857notbid 286 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar
5958anassrs 630 . . . . . . . . 9 LMHom Scalar
6015, 59sylan2 461 . . . . . . . 8 LMHom Scalar Scalar
6160ralbidva 2721 . . . . . . 7 LMHom Scalar Scalar Scalar Scalar
62 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
6325, 62lmhmsca 16106 . . . . . . . . . . 11 LMHom Scalar Scalar
6463fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar Scalar
6563fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11 LMHom Scalar Scalar
6665sneqd 3827 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar Scalar
6764, 66difeq12d 3466 . . . . . . . . 9 LMHom Scalar Scalar Scalar Scalar
6867ad3antrrr 711 . . . . . . . 8 LMHom Scalar Scalar Scalar Scalar
6968raleqdv 2910 . . . . . . 7 LMHom Scalar Scalar Scalar Scalar
7061, 69bitr4d 248 . . . . . 6 LMHom Scalar Scalar Scalar Scalar
7170ralbidva 2721 . . . . 5 LMHom Scalar Scalar Scalar Scalar
7217ad2antrr 707 . . . . . 6 LMHom
73 simprr 734 . . . . . 6 LMHom
74 eqid 2436 . . . . . . 7 Scalar Scalar
7524, 26, 35, 25, 27, 74islindf2 27261 . . . . . 6 LIndF Scalar Scalar
7672, 73, 20, 75syl3anc 1184 . . . . 5 LMHom LIndF Scalar Scalar
77 lmhmlmod2 16108 . . . . . . 7 LMHom
7877ad2antrr 707 . . . . . 6 LMHom
7910ad2ant2lr 729 . . . . . 6 LMHom
80 lindfmm.c . . . . . . 7
81 eqid 2436 . . . . . . 7 Scalar Scalar
82 eqid 2436 . . . . . . 7 Scalar Scalar
8380, 41, 50, 62, 81, 82islindf2 27261 . . . . . 6 LIndF Scalar Scalar
8478, 73, 79, 83syl3anc 1184 . . . . 5 LMHom LIndF Scalar Scalar
8571, 76, 843bitr4d 277 . . . 4 LMHom LIndF LIndF
8685exp32 589 . . 3 LMHom LIndF LIndF
87863impia 1150 . 2 LMHom LIndF LIndF
886, 14, 87pm5.21ndd 344 1 LMHom LIndF LIndF
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956   cdif 3317   wss 3320  csn 3814   class class class wbr 4212   crn 4879  cima 4881   ccom 4882   wfn 5449  wf 5450  wf1 5451  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469  Scalarcsca 13532  cvsca 13533  c0g 13723  clmod 15950  clspn 16047   LMHom clmhm 16095   LIndF clindf 27251 This theorem is referenced by:  lindsmm  27275 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lmhm 16098  df-lindf 27253
 Copyright terms: Public domain W3C validator