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Theorem lindfmm 26445
Description: Linear independence of a family is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfmm.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lindfmm.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
Assertion
Ref Expression
lindfmm  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  S  <->  ( G  o.  F ) LIndF  T ) )

Proof of Theorem lindfmm
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rellindf 26426 . . . . 5  |-  Rel LIndF
21brrelexi 4766 . . . 4  |-  ( F LIndF 
S  ->  F  e.  _V )
3 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  ->  F : I --> B )
4 dmfex 5462 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : I --> B )  ->  I  e.  _V )
52, 3, 4syl2anr 464 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F : I --> B )  /\  F LIndF  S )  ->  I  e.  _V )
65ex 423 . 2  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  S  ->  I  e.  _V ) )
71brrelexi 4766 . . . 4  |-  ( ( G  o.  F ) LIndF 
T  ->  ( G  o.  F )  e.  _V )
8 f1f 5475 . . . . . 6  |-  ( G : B -1-1-> C  ->  G : B --> C )
9 fco 5436 . . . . . 6  |-  ( ( G : B --> C  /\  F : I --> B )  ->  ( G  o.  F ) : I --> C )
108, 9sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( G : B -1-1-> C  /\  F : I --> B )  ->  ( G  o.  F ) : I --> C )
11103adant1 973 . . . 4  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( G  o.  F
) : I --> C )
12 dmfex 5462 . . . 4  |-  ( ( ( G  o.  F
)  e.  _V  /\  ( G  o.  F
) : I --> C )  ->  I  e.  _V )
137, 11, 12syl2anr 464 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F : I --> B )  /\  ( G  o.  F ) LIndF  T )  ->  I  e.  _V )
1413ex 423 . 2  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( ( G  o.  F ) LIndF  T  ->  I  e.  _V ) )
15 eldifi 3332 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  S
) ) } )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  S
) ) )
16 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  G : B -1-1-> C )
17 lmhmlmod1 15839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  S  e.  LMod )
1817ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  S  e.  LMod )
19 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S
) ) )
20 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  F : I --> B )
21 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S )
) )  ->  x  e.  I )
22 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : I --> B  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x
)  e.  B )
2320, 21, 22syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  B
)
24 lindfmm.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  S
)
25 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  S )  =  (Scalar `  S )
26 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .s
`  S )  =  ( .s `  S
)
27 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  S )
)  =  ( Base `  (Scalar `  S )
)
2824, 25, 26, 27lmodvscl 15693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) )  /\  ( F `  x )  e.  B )  -> 
( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) )  e.  B )
2918, 19, 23, 28syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( k
( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  B )
30 imassrn 5062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F
" ( I  \  { x } ) )  C_  ran  F
31 frn 5433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : I --> B  ->  ran  F  C_  B )
3231adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )  ->  ran  F  C_  B
)
3330, 32syl5ss 3224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )  ->  ( F " (
I  \  { x } ) )  C_  B )
3433ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( F " ( I  \  {
x } ) ) 
C_  B )
35 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( LSpan `  S )  =  (
LSpan `  S )
3624, 35lspssv 15789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  ( F " ( I  \  { x } ) )  C_  B )  ->  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  C_  B )
3718, 34, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I 
\  { x }
) ) )  C_  B )
38 f1elima 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : B -1-1-> C  /\  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) )  e.  B  /\  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  C_  B )  ->  ( ( G `  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) ) )  e.  ( G " ( (
LSpan `  S ) `  ( F " ( I 
\  { x }
) ) ) )  <-> 
( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) )  e.  ( (
LSpan `  S ) `  ( F " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
3916, 29, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( ( G `  ( k
( .s `  S
) ( F `  x ) ) )  e.  ( G "
( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) )  <->  ( k
( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) ) )
40 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  G  e.  ( S LMHom  T ) )
41 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .s
`  T )  =  ( .s `  T
)
4225, 27, 24, 26, 41lmhmlin 15841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) )  /\  ( F `  x )  e.  B )  -> 
( G `  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) ) )  =  ( k ( .s `  T
) ( G `  ( F `  x ) ) ) )
4340, 19, 23, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( G `  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) ) )  =  ( k ( .s `  T ) ( G `
 ( F `  x ) ) ) )
44 ffn 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : I --> B  ->  F  Fn  I )
4544ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  F  Fn  I )
46 fvco2 5632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Fn  I  /\  x  e.  I )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
4745, 21, 46syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
4847oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( k
( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  =  ( k ( .s
`  T ) ( G `  ( F `
 x ) ) ) )
4943, 48eqtr4d 2351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( G `  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) ) )  =  ( k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )
50 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( LSpan `  T )  =  (
LSpan `  T )
5124, 35, 50lmhmlsp 15855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( F " ( I  \  { x } ) )  C_  B )  ->  ( G " (
( LSpan `  S ) `  ( F " (
I  \  { x } ) ) ) )  =  ( (
LSpan `  T ) `  ( G " ( F
" ( I  \  { x } ) ) ) ) )
5240, 34, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( G " ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) )  =  ( ( LSpan `  T ) `  ( G " ( F " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
53 imaco 5215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  o.  F )
" ( I  \  { x } ) )  =  ( G
" ( F "
( I  \  {
x } ) ) )
5453fveq2i 5566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
LSpan `  T ) `  ( ( G  o.  F ) " (
I  \  { x } ) ) )  =  ( ( LSpan `  T ) `  ( G " ( F "
( I  \  {
x } ) ) ) )
5552, 54syl6eqr 2366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( G " ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) )  =  ( ( LSpan `  T ) `  ( ( G  o.  F ) " (
I  \  { x } ) ) ) )
5649, 55eleq12d 2384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( ( G `  ( k
( .s `  S
) ( F `  x ) ) )  e.  ( G "
( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) )  <->  ( k
( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  T
) `  ( ( G  o.  F ) " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
5739, 56bitr3d 246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) )  <->  ( k
( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  T
) `  ( ( G  o.  F ) " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
5857notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( -.  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) )  e.  ( (
LSpan `  S ) `  ( F " ( I 
\  { x }
) ) )  <->  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
5958anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T
)  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) )  ->  ( -.  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) )  <->  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
6015, 59sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T
)  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } ) )  -> 
( -.  ( k ( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  <->  -.  ( k
( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  T
) `  ( ( G  o.  F ) " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
6160ralbidva 2593 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( A. k  e.  (
( Base `  (Scalar `  S
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  ( k ( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  <->  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
62 eqid 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
6325, 62lmhmsca 15836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  (Scalar `  T
)  =  (Scalar `  S ) )
6463fveq2d 5567 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  S )
) )
6563fveq2d 5567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( 0g `  (Scalar `  T )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  S )
) )
6665sneqd 3687 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  { ( 0g `  (Scalar `  T
) ) }  =  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )
6764, 66difeq12d 3329 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( ( Base `  (Scalar `  T
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  =  ( (
Base `  (Scalar `  S
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  S ) ) } ) )
6867ad3antrrr 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( Base `  (Scalar `  T
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  =  ( (
Base `  (Scalar `  S
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  S ) ) } ) )
6968raleqdv 2776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( A. k  e.  (
( Base `  (Scalar `  T
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  ( k ( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  T
) `  ( ( G  o.  F ) " ( I  \  { x } ) ) )  <->  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
7061, 69bitr4d 247 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( A. k  e.  (
( Base `  (Scalar `  S
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  ( k ( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  <->  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  T ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
7170ralbidva 2593 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) )  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  T ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
7217ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  S  e.  LMod )
73 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  I  e.  _V )
74 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  S )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  S )
)
7524, 26, 35, 25, 27, 74islindf2 26432 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  I  e.  _V  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  S  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
7672, 73, 20, 75syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( F LIndF  S  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
77 lmhmlmod2 15838 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  T  e.  LMod )
7877ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  T  e.  LMod )
7910ad2ant2lr 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( G  o.  F
) : I --> C )
80 lindfmm.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( Base `  T
)
81 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
)
82 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)
8380, 41, 50, 62, 81, 82islindf2 26432 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  I  e.  _V  /\  ( G  o.  F ) : I --> C )  -> 
( ( G  o.  F ) LIndF  T  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  T ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
8478, 73, 79, 83syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( ( G  o.  F ) LIndF  T  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  T ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
8571, 76, 843bitr4d 276 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( F LIndF  S  <->  ( G  o.  F ) LIndF  T ) )
8685exp32 588 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C )  -> 
( F : I --> B  ->  ( I  e.  _V  ->  ( F LIndF  S  <-> 
( G  o.  F
) LIndF  T ) ) ) )
87863impia 1148 . 2  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( I  e.  _V  ->  ( F LIndF  S  <->  ( G  o.  F ) LIndF  T ) ) )
886, 14, 87pm5.21ndd 343 1  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  S  <->  ( G  o.  F ) LIndF  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   _Vcvv 2822    \ cdif 3183    C_ wss 3186   {csn 3674   class class class wbr 4060   ran crn 4727   "cima 4729    o. ccom 4730    Fn wfn 5287   -->wf 5288   -1-1->wf1 5289   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195  Scalarcsca 13258   .scvsca 13259   0gc0g 13449   LModclmod 15676   LSpanclspn 15777   LMHom clmhm 15825   LIndF clindf 26422
This theorem is referenced by:  lindsmm  26446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-subg 14667  df-ghm 14730  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-lmhm 15828  df-lindf 26424
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