Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindfres Structured version   Unicode version

Theorem lindfres 27270
Description: Any restriction of an independent family is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindfres  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( F  |`  X ) LIndF  W )

Proof of Theorem lindfres
StepHypRef Expression
1 coires1 5387 . . 3  |-  ( F  o.  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) )  =  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) )
2 resdmres 5361 . . 3  |-  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) )  =  ( F  |`  X )
31, 2eqtri 2456 . 2  |-  ( F  o.  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) )  =  ( F  |`  X )
4 f1oi 5713 . . . . 5  |-  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-onto-> dom  ( F  |`  X )
5 f1of1 5673 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-onto-> dom  ( F  |`  X )  ->  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  ( F  |`  X ) )
64, 5ax-mp 8 . . . 4  |-  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  ( F  |`  X )
7 resss 5170 . . . . 5  |-  ( F  |`  X )  C_  F
8 dmss 5069 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  X )  C_  F  ->  dom  ( F  |`  X )  C_  dom  F )
97, 8ax-mp 8 . . . 4  |-  dom  ( F  |`  X )  C_  dom  F
10 f1ss 5644 . . . 4  |-  ( ( (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  ( F  |`  X )  /\  dom  ( F  |`  X ) 
C_  dom  F )  ->  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  F
)
116, 9, 10mp2an 654 . . 3  |-  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  F
12 f1lindf 27269 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  F
)  ->  ( F  o.  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) ) LIndF  W )
1311, 12mp3an3 1268 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( F  o.  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) ) LIndF  W )
143, 13syl5eqbrr 4246 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( F  |`  X ) LIndF  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    _I cid 4493   dom cdm 4878    |` cres 4880    o. ccom 4882   -1-1->wf1 5451   -1-1-onto->wf1o 5453   LModclmod 15950   LIndF clindf 27251
This theorem is referenced by:  lindsss  27271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-riota 6549  df-slot 13473  df-base 13474  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lindf 27253
  Copyright terms: Public domain W3C validator