Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindfres Unicode version

Theorem lindfres 26441
Description: Any restriction of an independent family is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindfres  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( F  |`  X ) LIndF  W )

Proof of Theorem lindfres
StepHypRef Expression
1 coires1 5227 . . 3  |-  ( F  o.  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) )  =  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) )
2 resdmres 5201 . . 3  |-  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) )  =  ( F  |`  X )
31, 2eqtri 2336 . 2  |-  ( F  o.  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) )  =  ( F  |`  X )
4 f1oi 5549 . . . . 5  |-  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-onto-> dom  ( F  |`  X )
5 f1of1 5509 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-onto-> dom  ( F  |`  X )  ->  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  ( F  |`  X ) )
64, 5ax-mp 8 . . . 4  |-  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  ( F  |`  X )
7 resss 5016 . . . . 5  |-  ( F  |`  X )  C_  F
8 dmss 4915 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  X )  C_  F  ->  dom  ( F  |`  X )  C_  dom  F )
97, 8ax-mp 8 . . . 4  |-  dom  ( F  |`  X )  C_  dom  F
10 f1ss 5480 . . . 4  |-  ( ( (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  ( F  |`  X )  /\  dom  ( F  |`  X ) 
C_  dom  F )  ->  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  F
)
116, 9, 10mp2an 653 . . 3  |-  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  F
12 f1lindf 26440 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  F
)  ->  ( F  o.  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) ) LIndF  W )
1311, 12mp3an3 1266 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( F  o.  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) ) LIndF  W )
143, 13syl5eqbrr 4094 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( F  |`  X ) LIndF  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1701    C_ wss 3186   class class class wbr 4060    _I cid 4341   dom cdm 4726    |` cres 4728    o. ccom 4730   -1-1->wf1 5289   -1-1-onto->wf1o 5291   LModclmod 15676   LIndF clindf 26422
This theorem is referenced by:  lindsss  26442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-riota 6346  df-slot 13199  df-base 13200  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-lindf 26424
  Copyright terms: Public domain W3C validator