Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindfres Unicode version

Theorem lindfres 27293
Description: Any restriction of an independent family is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindfres  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( F  |`  X ) LIndF  W )

Proof of Theorem lindfres
StepHypRef Expression
1 coires1 5190 . . 3  |-  ( F  o.  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) )  =  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) )
2 resdmres 5164 . . 3  |-  ( F  |`  dom  ( F  |`  X ) )  =  ( F  |`  X )
31, 2eqtri 2303 . 2  |-  ( F  o.  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) )  =  ( F  |`  X )
4 f1oi 5511 . . . . 5  |-  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-onto-> dom  ( F  |`  X )
5 f1of1 5471 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-onto-> dom  ( F  |`  X )  ->  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  ( F  |`  X ) )
64, 5ax-mp 8 . . . 4  |-  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  ( F  |`  X )
7 resss 4979 . . . . 5  |-  ( F  |`  X )  C_  F
8 dmss 4878 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  X )  C_  F  ->  dom  ( F  |`  X )  C_  dom  F )
97, 8ax-mp 8 . . . 4  |-  dom  ( F  |`  X )  C_  dom  F
10 f1ss 5442 . . . 4  |-  ( ( (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  ( F  |`  X )  /\  dom  ( F  |`  X ) 
C_  dom  F )  ->  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  F
)
116, 9, 10mp2an 653 . . 3  |-  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  F
12 f1lindf 27292 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) : dom  ( F  |`  X ) -1-1-> dom  F
)  ->  ( F  o.  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) ) LIndF  W )
1311, 12mp3an3 1266 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( F  o.  (  _I  |`  dom  ( F  |`  X ) ) ) LIndF  W )
143, 13syl5eqbrr 4057 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( F  |`  X ) LIndF  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    _I cid 4304   dom cdm 4689    |` cres 4691    o. ccom 4693   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   LModclmod 15627   LIndF clindf 27274
This theorem is referenced by:  lindsss  27294
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-slot 13152  df-base 13153  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lindf 27276
  Copyright terms: Public domain W3C validator