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Theorem lindfrn 27394
Description: The range of an independent family is an independent set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindfrn  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ran  F  e.  (LIndS `  W )
)

Proof of Theorem lindfrn
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
21lindff 27388 . . . 4  |-  ( ( F LIndF  W  /\  W  e.  LMod )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W ) )
32ancoms 439 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W
) )
4 frn 5411 . . 3  |-  ( F : dom  F --> ( Base `  W )  ->  ran  F 
C_  ( Base `  W
) )
53, 4syl 15 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ran  F  C_  ( Base `  W )
)
6 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  F LIndF  W )
7 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  y  e.  dom  F )
8 eldifi 3311 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) } )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
98ad2antll 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
10 eldifsni 3763 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) } )  ->  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
1110ad2antll 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
12 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
13 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
14 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
15 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
16 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
1712, 13, 14, 15, 16lindfind 27389 . . . . . 6  |-  ( ( ( F LIndF  W  /\  y  e.  dom  F )  /\  ( k  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  ->  -.  ( k ( .s
`  W ) ( F `  y ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
186, 7, 9, 11, 17syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  ( k
( .s `  W
) ( F `  y ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
19 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  y  e.  dom  F )  ->  W  e.  LMod )
20 imassrn 5041 . . . . . . . . . 10  |-  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) )  C_  ran  F
2120, 5syl5ss 3203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( F " ( dom  F  \  { y } ) )  C_  ( Base `  W ) )
2221adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  y  e.  dom  F )  ->  ( F "
( dom  F  \  {
y } ) ) 
C_  ( Base `  W
) )
23 ffun 5407 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : dom  F --> ( Base `  W )  ->  Fun  F )
243, 23syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  Fun  F )
25 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } )  <-> 
( x  e.  ran  F  /\  x  =/=  ( F `  y )
) )
26 funfn 5299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
27 fvelrnb 5586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( x  e.  ran  F  <->  E. k  e.  dom  F ( F `  k
)  =  x ) )
2826, 27sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
F  ->  ( x  e.  ran  F  <->  E. k  e.  dom  F ( F `
 k )  =  x ) )
2928adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  ran  F  <->  E. k  e.  dom  F ( F `  k
)  =  x ) )
30 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( dom 
F  \  { y } )  C_  dom  F
3130jctr 526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Fun 
F  ->  ( Fun  F  /\  ( dom  F  \  { y } ) 
C_  dom  F )
)
3231ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  =/=  ( F `  y
) ) )  -> 
( Fun  F  /\  ( dom  F  \  {
y } )  C_  dom  F ) )
33 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  =/=  ( F `
 y ) )  ->  k  e.  dom  F )
34 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  y ) )
3534necon3i 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  k )  =/=  ( F `  y )  ->  k  =/=  y )
3635adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  =/=  ( F `
 y ) )  ->  k  =/=  y
)
37 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( dom  F  \  { y } )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  k  =/=  y
) )
3833, 36, 37sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  =/=  ( F `
 y ) )  ->  k  e.  ( dom  F  \  {
y } ) )
3938adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  =/=  ( F `  y
) ) )  -> 
k  e.  ( dom 
F  \  { y } ) )
40 funfvima2 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  F  /\  ( dom  F  \  { y } )  C_  dom  F )  ->  ( k  e.  ( dom  F  \  { y } )  ->  ( F `  k )  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
4132, 39, 40sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  =/=  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) ) )
4241expr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `  k )  =/=  ( F `  y
)  ->  ( F `  k )  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
43 neeq1 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  k )  =  x  ->  (
( F `  k
)  =/=  ( F `
 y )  <->  x  =/=  ( F `  y ) ) )
44 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  k )  =  x  ->  (
( F `  k
)  e.  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) )  <->  x  e.  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
4543, 44imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  =  x  ->  (
( ( F `  k )  =/=  ( F `  y )  ->  ( F `  k
)  e.  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) ) )  <->  ( x  =/=  ( F `  y
)  ->  x  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) ) )
4642, 45syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `  k )  =  x  ->  ( x  =/=  ( F `  y )  ->  x  e.  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) ) )
4746rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( E. k  e. 
dom  F ( F `
 k )  =  x  ->  ( x  =/=  ( F `  y
)  ->  x  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) ) )
4829, 47sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  ran  F  ->  ( x  =/=  ( F `  y
)  ->  x  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) ) )
4948imp3a 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( x  e. 
ran  F  /\  x  =/=  ( F `  y
) )  ->  x  e.  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
5025, 49syl5bi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } )  ->  x  e.  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
5150ssrdv 3198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ran  F  \  {
( F `  y
) } )  C_  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) )
5224, 51sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  y  e.  dom  F )  ->  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) 
C_  ( F "
( dom  F  \  {
y } ) ) )
531, 13lspss 15757 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( F " ( dom  F  \  { y } ) )  C_  ( Base `  W )  /\  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } )  C_  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) )  ->  (
( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) )  C_  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
5419, 22, 52, 53syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  y  e.  dom  F )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) )  C_  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
5554adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) )  C_  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
5655sseld 3192 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  ( ( k ( .s `  W
) ( F `  y ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ran  F 
\  { ( F `
 y ) } ) )  ->  (
k ( .s `  W ) ( F `
 y ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) ) )
5718, 56mtod 168 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  ( k
( .s `  W
) ( F `  y ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ran  F 
\  { ( F `
 y ) } ) ) )
5857ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  A. y  e.  dom  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( F `
 y ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) ) )
5924, 26sylib 188 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  F  Fn  dom  F )
60 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
k ( .s `  W ) x )  =  ( k ( .s `  W ) ( F `  y
) ) )
61 sneq 3664 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  { x }  =  { ( F `  y ) } )
6261difeq2d 3307 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  ( ran  F  \  { x } )  =  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } ) )
6362fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) )  =  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } ) ) )
6460, 63eleq12d 2364 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
( k ( .s
`  W ) x )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
x } ) )  <-> 
( k ( .s
`  W ) ( F `  y ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } ) ) ) )
6564notbid 285 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  ( -.  ( k ( .s
`  W ) x )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
x } ) )  <->  -.  ( k ( .s
`  W ) ( F `  y ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } ) ) ) )
6665ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  ( A. k  e.  (
( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  ( k ( .s `  W
) x )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ran  F 
\  { x }
) )  <->  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( F `
 y ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) ) ) )
6766ralrn 5684 . . . 4  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( A. x  e. 
ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) x )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) )  <->  A. y  e.  dom  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( F `
 y ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) ) ) )
6859, 67syl 15 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( A. x  e.  ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  ( k ( .s `  W
) x )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ran  F 
\  { x }
) )  <->  A. y  e.  dom  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( F `
 y ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) ) ) )
6958, 68mpbird 223 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  A. x  e.  ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) x )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) ) )
701, 12, 13, 14, 16, 15islinds2 27386 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( ran 
F  e.  (LIndS `  W )  <->  ( ran  F 
C_  ( Base `  W
)  /\  A. x  e.  ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) x )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) ) ) ) )
7170adantr 451 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( ran  F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( ran  F  C_  ( Base `  W
)  /\  A. x  e.  ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) x )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) ) ) ) )
725, 69, 71mpbir2and 888 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ran  F  e.  (LIndS `  W )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416   LModclmod 15643   LSpanclspn 15744   LIndF clindf 27377  LIndSclinds 27378
This theorem is referenced by:  islindf3  27399  lindsmm  27401
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-slot 13168  df-base 13169  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lindf 27379  df-linds 27380
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