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Theorem lindfrn 27268
Description: The range of an independent family is an independent set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindfrn  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ran  F  e.  (LIndS `  W )
)

Proof of Theorem lindfrn
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
21lindff 27262 . . . 4  |-  ( ( F LIndF  W  /\  W  e.  LMod )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W ) )
32ancoms 440 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W
) )
4 frn 5597 . . 3  |-  ( F : dom  F --> ( Base `  W )  ->  ran  F 
C_  ( Base `  W
) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ran  F  C_  ( Base `  W )
)
6 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  y  e.  dom  F )  ->  W  e.  LMod )
7 imassrn 5216 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) )  C_  ran  F
87, 5syl5ss 3359 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( F " ( dom  F  \  { y } ) )  C_  ( Base `  W ) )
98adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  y  e.  dom  F )  ->  ( F "
( dom  F  \  {
y } ) ) 
C_  ( Base `  W
) )
10 ffun 5593 . . . . . . . . 9  |-  ( F : dom  F --> ( Base `  W )  ->  Fun  F )
113, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  Fun  F )
12 eldifsn 3927 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } )  <-> 
( x  e.  ran  F  /\  x  =/=  ( F `  y )
) )
13 funfn 5482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
14 fvelrnb 5774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( x  e.  ran  F  <->  E. k  e.  dom  F ( F `  k
)  =  x ) )
1513, 14sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun 
F  ->  ( x  e.  ran  F  <->  E. k  e.  dom  F ( F `
 k )  =  x ) )
1615adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  ran  F  <->  E. k  e.  dom  F ( F `  k
)  =  x ) )
17 difss 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom 
F  \  { y } )  C_  dom  F
1817jctr 527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun 
F  ->  ( Fun  F  /\  ( dom  F  \  { y } ) 
C_  dom  F )
)
1918ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  =/=  ( F `  y
) ) )  -> 
( Fun  F  /\  ( dom  F  \  {
y } )  C_  dom  F ) )
20 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  =/=  ( F `
 y ) )  ->  k  e.  dom  F )
21 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  y ) )
2221necon3i 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  k )  =/=  ( F `  y )  ->  k  =/=  y )
2322adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  =/=  ( F `
 y ) )  ->  k  =/=  y
)
24 eldifsn 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( dom  F  \  { y } )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  k  =/=  y
) )
2520, 23, 24sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  =/=  ( F `
 y ) )  ->  k  e.  ( dom  F  \  {
y } ) )
2625adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  =/=  ( F `  y
) ) )  -> 
k  e.  ( dom 
F  \  { y } ) )
27 funfvima2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  ( dom  F  \  { y } )  C_  dom  F )  ->  ( k  e.  ( dom  F  \  { y } )  ->  ( F `  k )  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
2819, 26, 27sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  =/=  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) ) )
2928expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `  k )  =/=  ( F `  y
)  ->  ( F `  k )  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
30 neeq1 2609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  =  x  ->  (
( F `  k
)  =/=  ( F `
 y )  <->  x  =/=  ( F `  y ) ) )
31 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  =  x  ->  (
( F `  k
)  e.  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) )  <->  x  e.  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
3230, 31imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  k )  =  x  ->  (
( ( F `  k )  =/=  ( F `  y )  ->  ( F `  k
)  e.  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) ) )  <->  ( x  =/=  ( F `  y
)  ->  x  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) ) )
3329, 32syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `  k )  =  x  ->  ( x  =/=  ( F `  y )  ->  x  e.  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) ) )
3433rexlimdva 2830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( E. k  e. 
dom  F ( F `
 k )  =  x  ->  ( x  =/=  ( F `  y
)  ->  x  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) ) )
3516, 34sylbid 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  ran  F  ->  ( x  =/=  ( F `  y
)  ->  x  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) ) )
3635imp3a 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( x  e. 
ran  F  /\  x  =/=  ( F `  y
) )  ->  x  e.  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
3712, 36syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } )  ->  x  e.  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
3837ssrdv 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ran  F  \  {
( F `  y
) } )  C_  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) )
3911, 38sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  y  e.  dom  F )  ->  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) 
C_  ( F "
( dom  F  \  {
y } ) ) )
40 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
411, 40lspss 16060 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( F " ( dom  F  \  { y } ) )  C_  ( Base `  W )  /\  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } )  C_  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) )  ->  (
( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) )  C_  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
426, 9, 39, 41syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  y  e.  dom  F )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) )  C_  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
4342adantrr 698 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) )  C_  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
44 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  F LIndF  W )
45 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  y  e.  dom  F )
46 eldifi 3469 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) } )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
4746ad2antll 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
48 eldifsni 3928 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) } )  ->  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
4948ad2antll 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
50 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
51 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
52 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
53 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
5450, 40, 51, 52, 53lindfind 27263 . . . . . 6  |-  ( ( ( F LIndF  W  /\  y  e.  dom  F )  /\  ( k  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  ->  -.  ( k ( .s
`  W ) ( F `  y ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
5544, 45, 47, 49, 54syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  ( k
( .s `  W
) ( F `  y ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
5643, 55ssneldd 3351 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  ( k
( .s `  W
) ( F `  y ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ran  F 
\  { ( F `
 y ) } ) ) )
5756ralrimivva 2798 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  A. y  e.  dom  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( F `
 y ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) ) )
5811, 13sylib 189 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  F  Fn  dom  F )
59 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
k ( .s `  W ) x )  =  ( k ( .s `  W ) ( F `  y
) ) )
60 sneq 3825 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  { x }  =  { ( F `  y ) } )
6160difeq2d 3465 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  ( ran  F  \  { x } )  =  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } ) )
6261fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) )  =  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } ) ) )
6359, 62eleq12d 2504 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
( k ( .s
`  W ) x )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
x } ) )  <-> 
( k ( .s
`  W ) ( F `  y ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } ) ) ) )
6463notbid 286 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  ( -.  ( k ( .s
`  W ) x )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
x } ) )  <->  -.  ( k ( .s
`  W ) ( F `  y ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } ) ) ) )
6564ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  ( A. k  e.  (
( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  ( k ( .s `  W
) x )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ran  F 
\  { x }
) )  <->  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( F `
 y ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) ) ) )
6665ralrn 5873 . . . 4  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( A. x  e. 
ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) x )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) )  <->  A. y  e.  dom  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( F `
 y ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) ) ) )
6758, 66syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( A. x  e.  ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  ( k ( .s `  W
) x )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ran  F 
\  { x }
) )  <->  A. y  e.  dom  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( F `
 y ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) ) ) )
6857, 67mpbird 224 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  A. x  e.  ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) x )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) ) )
691, 50, 40, 51, 53, 52islinds2 27260 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( ran 
F  e.  (LIndS `  W )  <->  ( ran  F 
C_  ( Base `  W
)  /\  A. x  e.  ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) x )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) ) ) ) )
7069adantr 452 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( ran  F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( ran  F  C_  ( Base `  W
)  /\  A. x  e.  ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) x )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) ) ) ) )
715, 68, 70mpbir2and 889 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ran  F  e.  (LIndS `  W )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    \ cdif 3317    C_ wss 3320   {csn 3814   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   ran crn 4879   "cima 4881   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   0gc0g 13723   LModclmod 15950   LSpanclspn 16047   LIndF clindf 27251  LIndSclinds 27252
This theorem is referenced by:  islindf3  27273  lindsmm  27275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-riota 6549  df-slot 13473  df-base 13474  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lindf 27253  df-linds 27254
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