Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindsind2 Unicode version

Theorem lindsind2 27392
Description: In a linearly independent set in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfind2.k  |-  K  =  ( LSpan `  W )
lindfind2.l  |-  L  =  (Scalar `  W )
Assertion
Ref Expression
lindsind2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  -.  E  e.  ( K `  ( F  \  { E }
) ) )

Proof of Theorem lindsind2
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing ) )
2 linds2 27384 . . . 4  |-  ( F  e.  (LIndS `  W
)  ->  (  _I  |`  F ) LIndF  W )
323ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  (  _I  |`  F ) LIndF  W )
4 dmresi 5021 . . . . . 6  |-  dom  (  _I  |`  F )  =  F
54eleq2i 2360 . . . . 5  |-  ( E  e.  dom  (  _I  |`  F )  <->  E  e.  F )
65biimpri 197 . . . 4  |-  ( E  e.  F  ->  E  e.  dom  (  _I  |`  F ) )
763ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  E  e.  dom  (  _I  |`  F ) )
8 lindfind2.k . . . 4  |-  K  =  ( LSpan `  W )
9 lindfind2.l . . . 4  |-  L  =  (Scalar `  W )
108, 9lindfind2 27391 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF  W  /\  E  e.  dom  (  _I  |`  F ) )  ->  -.  (
(  _I  |`  F ) `
 E )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) ) ) )
111, 3, 7, 10syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  -.  (
(  _I  |`  F ) `
 E )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) ) ) )
12 fvresi 5727 . . . 4  |-  ( E  e.  F  ->  (
(  _I  |`  F ) `
 E )  =  E )
134difeq1i 3303 . . . . . . . 8  |-  ( dom  (  _I  |`  F ) 
\  { E }
)  =  ( F 
\  { E }
)
1413imaeq2i 5026 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) )  =  ( (  _I  |`  F ) " ( F  \  { E }
) )
15 difss 3316 . . . . . . . 8  |-  ( F 
\  { E }
)  C_  F
16 resiima 5045 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  \  { E } )  C_  F  ->  ( (  _I  |`  F )
" ( F  \  { E } ) )  =  ( F  \  { E } ) )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( F  \  { E } ) )  =  ( F  \  { E } )
1814, 17eqtri 2316 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) )  =  ( F  \  { E } )
1918fveq2i 5544 . . . . 5  |-  ( K `
 ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F ) 
\  { E }
) ) )  =  ( K `  ( F  \  { E }
) )
2019a1i 10 . . . 4  |-  ( E  e.  F  ->  ( K `  ( (  _I  |`  F ) "
( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) ) )  =  ( K `  ( F  \  { E } ) ) )
2112, 20eleq12d 2364 . . 3  |-  ( E  e.  F  ->  (
( (  _I  |`  F ) `
 E )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) ) )  <->  E  e.  ( K `  ( F  \  { E } ) ) ) )
22213ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  ( (
(  _I  |`  F ) `
 E )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) ) )  <->  E  e.  ( K `  ( F  \  { E } ) ) ) )
2311, 22mtbid 291 1  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  -.  E  e.  ( K `  ( F  \  { E }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    _I cid 4320   dom cdm 4705    |` cres 4707   "cima 4708   ` cfv 5271  Scalarcsca 13227   LModclmod 15643   LSpanclspn 15744  NzRingcnzr 16025   LIndF clindf 27377  LIndSclinds 27378
This theorem is referenced by:  islinds4  27408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-nzr 16026  df-lindf 27379  df-linds 27380
  Copyright terms: Public domain W3C validator