Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindsind2 Unicode version

Theorem lindsind2 27289
Description: In a linearly independent set in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfind2.k  |-  K  =  ( LSpan `  W )
lindfind2.l  |-  L  =  (Scalar `  W )
Assertion
Ref Expression
lindsind2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  -.  E  e.  ( K `  ( F  \  { E }
) ) )

Proof of Theorem lindsind2
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing ) )
2 linds2 27281 . . . 4  |-  ( F  e.  (LIndS `  W
)  ->  (  _I  |`  F ) LIndF  W )
323ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  (  _I  |`  F ) LIndF  W )
4 dmresi 5005 . . . . . 6  |-  dom  (  _I  |`  F )  =  F
54eleq2i 2347 . . . . 5  |-  ( E  e.  dom  (  _I  |`  F )  <->  E  e.  F )
65biimpri 197 . . . 4  |-  ( E  e.  F  ->  E  e.  dom  (  _I  |`  F ) )
763ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  E  e.  dom  (  _I  |`  F ) )
8 lindfind2.k . . . 4  |-  K  =  ( LSpan `  W )
9 lindfind2.l . . . 4  |-  L  =  (Scalar `  W )
108, 9lindfind2 27288 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF  W  /\  E  e.  dom  (  _I  |`  F ) )  ->  -.  (
(  _I  |`  F ) `
 E )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) ) ) )
111, 3, 7, 10syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  -.  (
(  _I  |`  F ) `
 E )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) ) ) )
12 fvresi 5711 . . . 4  |-  ( E  e.  F  ->  (
(  _I  |`  F ) `
 E )  =  E )
134difeq1i 3290 . . . . . . . 8  |-  ( dom  (  _I  |`  F ) 
\  { E }
)  =  ( F 
\  { E }
)
1413imaeq2i 5010 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) )  =  ( (  _I  |`  F ) " ( F  \  { E }
) )
15 difss 3303 . . . . . . . 8  |-  ( F 
\  { E }
)  C_  F
16 resiima 5029 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  \  { E } )  C_  F  ->  ( (  _I  |`  F )
" ( F  \  { E } ) )  =  ( F  \  { E } ) )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( F  \  { E } ) )  =  ( F  \  { E } )
1814, 17eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) )  =  ( F  \  { E } )
1918fveq2i 5528 . . . . 5  |-  ( K `
 ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F ) 
\  { E }
) ) )  =  ( K `  ( F  \  { E }
) )
2019a1i 10 . . . 4  |-  ( E  e.  F  ->  ( K `  ( (  _I  |`  F ) "
( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) ) )  =  ( K `  ( F  \  { E } ) ) )
2112, 20eleq12d 2351 . . 3  |-  ( E  e.  F  ->  (
( (  _I  |`  F ) `
 E )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) ) )  <->  E  e.  ( K `  ( F  \  { E } ) ) ) )
22213ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  ( (
(  _I  |`  F ) `
 E )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) ) )  <->  E  e.  ( K `  ( F  \  { E } ) ) ) )
2311, 22mtbid 291 1  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  -.  E  e.  ( K `  ( F  \  { E }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    _I cid 4304   dom cdm 4689    |` cres 4691   "cima 4692   ` cfv 5255  Scalarcsca 13211   LModclmod 15627   LSpanclspn 15728  NzRingcnzr 16009   LIndF clindf 27274  LIndSclinds 27275
This theorem is referenced by:  islinds4  27305
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-nzr 16010  df-lindf 27276  df-linds 27277
  Copyright terms: Public domain W3C validator