Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindsind2 Structured version   Unicode version

Theorem lindsind2 27257
Description: In a linearly independent set in a module over a nonzero ring, no element is contained in the span of any non-containing set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfind2.k  |-  K  =  ( LSpan `  W )
lindfind2.l  |-  L  =  (Scalar `  W )
Assertion
Ref Expression
lindsind2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  -.  E  e.  ( K `  ( F  \  { E }
) ) )

Proof of Theorem lindsind2
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing ) )
2 linds2 27249 . . . 4  |-  ( F  e.  (LIndS `  W
)  ->  (  _I  |`  F ) LIndF  W )
323ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  (  _I  |`  F ) LIndF  W )
4 dmresi 5188 . . . . . 6  |-  dom  (  _I  |`  F )  =  F
54eleq2i 2499 . . . . 5  |-  ( E  e.  dom  (  _I  |`  F )  <->  E  e.  F )
65biimpri 198 . . . 4  |-  ( E  e.  F  ->  E  e.  dom  (  _I  |`  F ) )
763ad2ant3 980 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  E  e.  dom  (  _I  |`  F ) )
8 lindfind2.k . . . 4  |-  K  =  ( LSpan `  W )
9 lindfind2.l . . . 4  |-  L  =  (Scalar `  W )
108, 9lindfind2 27256 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  (  _I  |`  F ) LIndF  W  /\  E  e.  dom  (  _I  |`  F ) )  ->  -.  (
(  _I  |`  F ) `
 E )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) ) ) )
111, 3, 7, 10syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  -.  (
(  _I  |`  F ) `
 E )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) ) ) )
12 fvresi 5916 . . . 4  |-  ( E  e.  F  ->  (
(  _I  |`  F ) `
 E )  =  E )
134difeq1i 3453 . . . . . . . 8  |-  ( dom  (  _I  |`  F ) 
\  { E }
)  =  ( F 
\  { E }
)
1413imaeq2i 5193 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) )  =  ( (  _I  |`  F ) " ( F  \  { E }
) )
15 difss 3466 . . . . . . . 8  |-  ( F 
\  { E }
)  C_  F
16 resiima 5212 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  \  { E } )  C_  F  ->  ( (  _I  |`  F )
" ( F  \  { E } ) )  =  ( F  \  { E } ) )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( F  \  { E } ) )  =  ( F  \  { E } )
1814, 17eqtri 2455 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) )  =  ( F  \  { E } )
1918fveq2i 5723 . . . . 5  |-  ( K `
 ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F ) 
\  { E }
) ) )  =  ( K `  ( F  \  { E }
) )
2019a1i 11 . . . 4  |-  ( E  e.  F  ->  ( K `  ( (  _I  |`  F ) "
( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) ) )  =  ( K `  ( F  \  { E } ) ) )
2112, 20eleq12d 2503 . . 3  |-  ( E  e.  F  ->  (
( (  _I  |`  F ) `
 E )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) ) )  <->  E  e.  ( K `  ( F  \  { E } ) ) ) )
22213ad2ant3 980 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  ( (
(  _I  |`  F ) `
 E )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { E } ) ) )  <->  E  e.  ( K `  ( F  \  { E } ) ) ) )
2311, 22mtbid 292 1  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  E  e.  F
)  ->  -.  E  e.  ( K `  ( F  \  { E }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    C_ wss 3312   {csn 3806   class class class wbr 4204    _I cid 4485   dom cdm 4870    |` cres 4872   "cima 4873   ` cfv 5446  Scalarcsca 13524   LModclmod 15942   LSpanclspn 16039  NzRingcnzr 16320   LIndF clindf 27242  LIndSclinds 27243
This theorem is referenced by:  islinds4  27273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-nzr 16321  df-lindf 27244  df-linds 27245
  Copyright terms: Public domain W3C validator