Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindsmm Structured version   Unicode version

Theorem lindsmm 27289
 Description: Linear independence of a set is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfmm.b
lindfmm.c
Assertion
Ref Expression
lindsmm LMHom LIndS LIndS

Proof of Theorem lindsmm
StepHypRef Expression
1 ibar 492 . . . 4 LIndF LIndF
213ad2ant3 981 . . 3 LMHom LIndF LIndF
3 f1oi 5716 . . . . . 6
4 f1of 5677 . . . . . 6
53, 4ax-mp 5 . . . . 5
6 simp3 960 . . . . 5 LMHom
7 fss 5602 . . . . 5
85, 6, 7sylancr 646 . . . 4 LMHom
9 lindfmm.b . . . . 5
10 lindfmm.c . . . . 5
119, 10lindfmm 27288 . . . 4 LMHom LIndF LIndF
128, 11syld3an3 1230 . . 3 LMHom LIndF LIndF
132, 12bitr3d 248 . 2 LMHom LIndF LIndF
14 lmhmlmod1 16114 . . . 4 LMHom
15143ad2ant1 979 . . 3 LMHom
169islinds 27270 . . 3 LIndS LIndF
1715, 16syl 16 . 2 LMHom LIndS LIndF
18 lmhmlmod2 16113 . . . . . . 7 LMHom
19183ad2ant1 979 . . . . . 6 LMHom
2019adantr 453 . . . . 5 LMHom LIndS
21 simpr 449 . . . . 5 LMHom LIndS LIndS
22 f1ores 5692 . . . . . . . 8
23 f1of1 5676 . . . . . . . 8
2422, 23syl 16 . . . . . . 7
25243adant1 976 . . . . . 6 LMHom
2625adantr 453 . . . . 5 LMHom LIndS
27 f1linds 27286 . . . . 5 LIndS LIndF
2820, 21, 26, 27syl3anc 1185 . . . 4 LMHom LIndS LIndF
29 df-ima 4894 . . . . 5
30 lindfrn 27282 . . . . . 6 LIndF LIndS
3119, 30sylan 459 . . . . 5 LMHom LIndF LIndS
3229, 31syl5eqel 2522 . . . 4 LMHom LIndF LIndS
3328, 32impbida 807 . . 3 LMHom LIndS LIndF
34 coires1 5390 . . . 4
3534breq1i 4222 . . 3 LIndF LIndF
3633, 35syl6bbr 256 . 2 LMHom LIndS LIndF
3713, 17, 363bitr4d 278 1 LMHom LIndS LIndS
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wss 3322   class class class wbr 4215   cid 4496   crn 4882   cres 4883  cima 4884   ccom 4885  wf 5453  wf1 5454  wf1o 5456  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474  clmod 15955   LMHom clmhm 16100   LIndF clindf 27265  LIndSclinds 27266 This theorem is referenced by:  lindsmm2  27290 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lmhm 16103  df-lindf 27267  df-linds 27268
 Copyright terms: Public domain W3C validator