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Theorem linepsubN 30563
Description: A line is a projective subspace. (Contributed by NM, 16-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
linepsub.n  |-  N  =  ( Lines `  K )
linepsub.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
Assertion
Ref Expression
linepsubN  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  N )  ->  X  e.  S )

Proof of Theorem linepsubN
Dummy variables  a 
b  c  p  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3271 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) }  C_  ( Atoms `  K )
2 sseq1 3212 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  <->  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) }  C_  ( Atoms `  K )
) )
31, 2mpbiri 224 . . . . . . 7  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) )
43a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) ) )
5 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
75, 6atbase 30101 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( Atoms `  K
)  ->  a  e.  ( Base `  K )
)
85, 6atbase 30101 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( Atoms `  K
)  ->  b  e.  ( Base `  K )
)
97, 8anim12i 549 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ( Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( a  e.  ( Base `  K
)  /\  b  e.  ( Base `  K )
) )
10 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
115, 10latjcl 14172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  a  e.  ( Base `  K )  /\  b  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )
12113expb 1152 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Base `  K )  /\  b  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)
139, 12sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( a (
join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)
14 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( p  e.  X  <->  p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) } ) )
15 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( c  =  p  ->  (
c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  <->  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
1615elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
175, 6atbase 30101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
1817anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
( p  e.  (
Base `  K )  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
1916, 18sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
2014, 19syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( p  e.  X  ->  ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )
21 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( q  e.  X  <->  q  e.  {
c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) } ) )
22 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( c  =  q  ->  (
c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  <->  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
2322elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  <-> 
( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
245, 6atbase 30101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( q  e.  ( Atoms `  K
)  ->  q  e.  ( Base `  K )
)
2524anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( q  e.  ( Atoms `  K )  /\  q
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
( q  e.  (
Base `  K )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
2623, 25sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( q  e.  ( Base `  K
)  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
2721, 26syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( q  e.  X  ->  ( q  e.  ( Base `  K
)  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )
2820, 27anim12d 546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( ( p  e.  X  /\  q  e.  X )  ->  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  /\  ( q  e.  ( Base `  K
)  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
29 an4 797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  e.  (
Base `  K )  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  /\  ( q  e.  ( Base `  K
)  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )  <->  ( ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  q  e.  ( Base `  K )
)  /\  ( p
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b )  /\  q
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) ) ) )
3028, 29syl6ib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( ( p  e.  X  /\  q  e.  X )  ->  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
3130imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) }  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  -> 
( ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  q  e.  ( Base `  K )
)  /\  ( p
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b )  /\  q
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) ) ) )
3231anim2i 552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) ) )  ->  ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
3332anassrs 629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  -> 
( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
345, 6atbase 30101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  ->  r  e.  ( Base `  K )
)
35 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
365, 35, 10latjle12 14184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K )  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  <-> 
( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) ) )
3736biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K )  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
38373exp2 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
p  e.  ( Base `  K )  ->  (
q  e.  ( Base `  K )  ->  (
( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) ) )
3938imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( ( a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
4039com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( p ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
4140imp43 578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )  ->  (
p ( join `  K
) q ) ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) )
4241adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
p ( join `  K
) q ) ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) )
435, 10latjcl 14172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
p ( join `  K
) q )  e.  ( Base `  K
) )
44433expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( p (
join `  K )
q )  e.  (
Base `  K )
) )
455, 35lattr 14178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( r  e.  (
Base `  K )  /\  ( p ( join `  K ) q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
46453exp2 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
r  e.  ( Base `  K )  ->  (
( p ( join `  K ) q )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) ) )
4746com24 81 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p ( join `  K
) q )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( r  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) ) )
4844, 47syl5d 62 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
r  e.  ( Base `  K )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) ) )
4948imp41 576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  q  e.  ( Base `  K )
) )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5049adantlrr 701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5142, 50mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5233, 34, 51syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
53 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
r  e.  ( Atoms `  K ) )
5452, 53jctild 527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )
55 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( r  e.  X  <->  r  e.  {
c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) } ) )
56 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  r  ->  (
c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  <->  r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5756elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  <-> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5855, 57syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( r  e.  X  <->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )
5958adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  ->  ( r  e.  X  <->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )
6059ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( r  e.  X  <->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  r
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) ) ) )
6154, 60sylibrd 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) )
6261ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  ->  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) )
6362ralrimivva 2648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  ->  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K )
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) )
6463ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) )
6513, 64syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) )
664, 65jcad 519 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) ) )
6766adantld 453 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( a  =/=  b  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  ->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) ) )
6867rexlimdvva 2687 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( E. a  e.  ( Atoms `  K ) E. b  e.  ( Atoms `  K ) ( a  =/=  b  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  ->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) ) )
69 linepsub.n . . . 4  |-  N  =  ( Lines `  K )
7035, 10, 6, 69isline 30550 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  N  <->  E. a  e.  ( Atoms `  K ) E. b  e.  ( Atoms `  K ) ( a  =/=  b  /\  X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) } ) ) )
71 linepsub.s . . . 4  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
7235, 10, 6, 71ispsubsp 30556 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  S  <->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) ) )
7368, 70, 723imtr4d 259 . 2  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  N  ->  X  e.  S ) )
7473imp 418 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  N )  ->  X  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   Latclat 14167   Atomscatm 30075   Linesclines 30305   PSubSpcpsubsp 30307
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-lub 14124  df-join 14126  df-lat 14168  df-ats 30079  df-lines 30312  df-psubsp 30314
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