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Theorem linepsubN 30486
Description: A line is a projective subspace. (Contributed by NM, 16-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
linepsub.n  |-  N  =  ( Lines `  K )
linepsub.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
Assertion
Ref Expression
linepsubN  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  N )  ->  X  e.  S )

Proof of Theorem linepsubN
Dummy variables  a 
b  c  p  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3420 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) }  C_  ( Atoms `  K )
2 sseq1 3361 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  <->  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) }  C_  ( Atoms `  K )
) )
31, 2mpbiri 225 . . . . . . 7  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) )
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) ) )
5 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
75, 6atbase 30024 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( Atoms `  K
)  ->  a  e.  ( Base `  K )
)
85, 6atbase 30024 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( Atoms `  K
)  ->  b  e.  ( Base `  K )
)
97, 8anim12i 550 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ( Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( a  e.  ( Base `  K
)  /\  b  e.  ( Base `  K )
) )
10 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
115, 10latjcl 14471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  a  e.  ( Base `  K )  /\  b  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )
12113expb 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Base `  K )  /\  b  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)
139, 12sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( a (
join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)
14 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( p  e.  X  <->  p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) } ) )
15 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( c  =  p  ->  (
c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  <->  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
1615elrab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
175, 6atbase 30024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
1817anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
( p  e.  (
Base `  K )  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
1916, 18sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
2014, 19syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( p  e.  X  ->  ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )
21 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( q  e.  X  <->  q  e.  {
c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) } ) )
22 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( c  =  q  ->  (
c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  <->  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
2322elrab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  <-> 
( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
245, 6atbase 30024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( q  e.  ( Atoms `  K
)  ->  q  e.  ( Base `  K )
)
2524anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( q  e.  ( Atoms `  K )  /\  q
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
( q  e.  (
Base `  K )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
2623, 25sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( q  e.  ( Base `  K
)  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
2721, 26syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( q  e.  X  ->  ( q  e.  ( Base `  K
)  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )
2820, 27anim12d 547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( ( p  e.  X  /\  q  e.  X )  ->  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  /\  ( q  e.  ( Base `  K
)  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
29 an4 798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  e.  (
Base `  K )  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  /\  ( q  e.  ( Base `  K
)  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )  <->  ( ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  q  e.  ( Base `  K )
)  /\  ( p
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b )  /\  q
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) ) ) )
3028, 29syl6ib 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( ( p  e.  X  /\  q  e.  X )  ->  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
3130imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) }  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  -> 
( ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  q  e.  ( Base `  K )
)  /\  ( p
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b )  /\  q
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) ) ) )
3231anim2i 553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) ) )  ->  ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
3332anassrs 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  -> 
( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
345, 6atbase 30024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  ->  r  e.  ( Base `  K )
)
35 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
365, 35, 10latjle12 14483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K )  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  <-> 
( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) ) )
3736biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K )  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
38373exp2 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
p  e.  ( Base `  K )  ->  (
q  e.  ( Base `  K )  ->  (
( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) ) )
3938imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( ( a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
4039com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( p ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
4140imp43 579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )  ->  (
p ( join `  K
) q ) ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) )
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
p ( join `  K
) q ) ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) )
435, 10latjcl 14471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
p ( join `  K
) q )  e.  ( Base `  K
) )
44433expib 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( p (
join `  K )
q )  e.  (
Base `  K )
) )
455, 35lattr 14477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( r  e.  (
Base `  K )  /\  ( p ( join `  K ) q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
46453exp2 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
r  e.  ( Base `  K )  ->  (
( p ( join `  K ) q )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) ) )
4746com24 83 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p ( join `  K
) q )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( r  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) ) )
4844, 47syl5d 64 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
r  e.  ( Base `  K )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) ) )
4948imp41 577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  q  e.  ( Base `  K )
) )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5049adantlrr 702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5142, 50mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5233, 34, 51syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
53 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
r  e.  ( Atoms `  K ) )
5452, 53jctild 528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )
55 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( r  e.  X  <->  r  e.  {
c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) } ) )
56 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  r  ->  (
c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  <->  r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5756elrab 3084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  <-> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5855, 57syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( r  e.  X  <->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )
5958ad3antlr 712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( r  e.  X  <->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  r
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) ) ) )
6054, 59sylibrd 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) )
6160ralrimiva 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  ->  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) )
6261ralrimivva 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  ->  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K )
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) )
6362ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) )
6413, 63syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) )
654, 64jcad 520 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) ) )
6665adantld 454 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( a  =/=  b  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  ->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) ) )
6766rexlimdvva 2829 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( E. a  e.  ( Atoms `  K ) E. b  e.  ( Atoms `  K ) ( a  =/=  b  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  ->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) ) )
68 linepsub.n . . . 4  |-  N  =  ( Lines `  K )
6935, 10, 6, 68isline 30473 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  N  <->  E. a  e.  ( Atoms `  K ) E. b  e.  ( Atoms `  K ) ( a  =/=  b  /\  X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) } ) ) )
70 linepsub.s . . . 4  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
7135, 10, 6, 70ispsubsp 30479 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  S  <->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) ) )
7267, 69, 713imtr4d 260 . 2  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  N  ->  X  e.  S ) )
7372imp 419 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  N )  ->  X  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   lecple 13528   joincjn 14393   Latclat 14466   Atomscatm 29998   Linesclines 30228   PSubSpcpsubsp 30230
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-lub 14423  df-join 14425  df-lat 14467  df-ats 30002  df-lines 30235  df-psubsp 30237
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