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Theorem linepsubN 29867
Description: A line is a projective subspace. (Contributed by NM, 16-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
linepsub.n  |-  N  =  ( Lines `  K )
linepsub.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
Assertion
Ref Expression
linepsubN  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  N )  ->  X  e.  S )

Proof of Theorem linepsubN
Dummy variables  a 
b  c  p  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3372 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) }  C_  ( Atoms `  K )
2 sseq1 3313 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  <->  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) }  C_  ( Atoms `  K )
) )
31, 2mpbiri 225 . . . . . . 7  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) )
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) ) )
5 eqid 2388 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 eqid 2388 . . . . . . . . . 10  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
75, 6atbase 29405 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( Atoms `  K
)  ->  a  e.  ( Base `  K )
)
85, 6atbase 29405 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( Atoms `  K
)  ->  b  e.  ( Base `  K )
)
97, 8anim12i 550 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ( Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( a  e.  ( Base `  K
)  /\  b  e.  ( Base `  K )
) )
10 eqid 2388 . . . . . . . . . 10  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
115, 10latjcl 14407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  a  e.  ( Base `  K )  /\  b  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )
12113expb 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Base `  K )  /\  b  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)
139, 12sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( a (
join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)
14 eleq2 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( p  e.  X  <->  p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) } ) )
15 breq1 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( c  =  p  ->  (
c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  <->  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
1615elrab 3036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
175, 6atbase 29405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
1817anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
( p  e.  (
Base `  K )  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
1916, 18sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
2014, 19syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( p  e.  X  ->  ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )
21 eleq2 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( q  e.  X  <->  q  e.  {
c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) } ) )
22 breq1 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( c  =  q  ->  (
c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  <->  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
2322elrab 3036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  <-> 
( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
245, 6atbase 29405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( q  e.  ( Atoms `  K
)  ->  q  e.  ( Base `  K )
)
2524anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( q  e.  ( Atoms `  K )  /\  q
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
( q  e.  (
Base `  K )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
2623, 25sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( q  e.  ( Base `  K
)  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
2721, 26syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( q  e.  X  ->  ( q  e.  ( Base `  K
)  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )
2820, 27anim12d 547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( ( p  e.  X  /\  q  e.  X )  ->  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  /\  ( q  e.  ( Base `  K
)  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
29 an4 798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  e.  (
Base `  K )  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  /\  ( q  e.  ( Base `  K
)  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )  <->  ( ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  q  e.  ( Base `  K )
)  /\  ( p
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b )  /\  q
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) ) ) )
3028, 29syl6ib 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( ( p  e.  X  /\  q  e.  X )  ->  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
3130imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) }  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  -> 
( ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  q  e.  ( Base `  K )
)  /\  ( p
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b )  /\  q
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) ) ) )
3231anim2i 553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) ) )  ->  ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
3332anassrs 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  -> 
( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
345, 6atbase 29405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  ->  r  e.  ( Base `  K )
)
35 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
365, 35, 10latjle12 14419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K )  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  <-> 
( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) ) )
3736biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K )  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
38373exp2 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
p  e.  ( Base `  K )  ->  (
q  e.  ( Base `  K )  ->  (
( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) ) )
3938imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( ( a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
4039com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( p ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
4140imp43 579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )  ->  (
p ( join `  K
) q ) ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) )
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
p ( join `  K
) q ) ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) )
435, 10latjcl 14407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
p ( join `  K
) q )  e.  ( Base `  K
) )
44433expib 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( p (
join `  K )
q )  e.  (
Base `  K )
) )
455, 35lattr 14413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( r  e.  (
Base `  K )  /\  ( p ( join `  K ) q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
46453exp2 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
r  e.  ( Base `  K )  ->  (
( p ( join `  K ) q )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) ) )
4746com24 83 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p ( join `  K
) q )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( r  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) ) )
4844, 47syl5d 64 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
r  e.  ( Base `  K )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) ) )
4948imp41 577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  q  e.  ( Base `  K )
) )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5049adantlrr 702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5142, 50mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5233, 34, 51syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
53 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
r  e.  ( Atoms `  K ) )
5452, 53jctild 528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )
55 eleq2 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( r  e.  X  <->  r  e.  {
c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) } ) )
56 breq1 4157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  r  ->  (
c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  <->  r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5756elrab 3036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  <-> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5855, 57syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( r  e.  X  <->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )
5958ad3antlr 712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( r  e.  X  <->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  r
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) ) ) )
6054, 59sylibrd 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) )
6160ralrimiva 2733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  ->  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) )
6261ralrimivva 2742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  ->  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K )
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) )
6362ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) )
6413, 63syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) )
654, 64jcad 520 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) ) )
6665adantld 454 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( a  =/=  b  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  ->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) ) )
6766rexlimdvva 2781 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( E. a  e.  ( Atoms `  K ) E. b  e.  ( Atoms `  K ) ( a  =/=  b  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  ->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) ) )
68 linepsub.n . . . 4  |-  N  =  ( Lines `  K )
6935, 10, 6, 68isline 29854 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  N  <->  E. a  e.  ( Atoms `  K ) E. b  e.  ( Atoms `  K ) ( a  =/=  b  /\  X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) } ) ) )
70 linepsub.s . . . 4  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
7135, 10, 6, 70ispsubsp 29860 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  S  <->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) ) )
7267, 69, 713imtr4d 260 . 2  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  N  ->  X  e.  S ) )
7372imp 419 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  N )  ->  X  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651   {crab 2654    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397   lecple 13464   joincjn 14329   Latclat 14402   Atomscatm 29379   Linesclines 29609   PSubSpcpsubsp 29611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-undef 6480  df-riota 6486  df-poset 14331  df-lub 14359  df-join 14361  df-lat 14403  df-ats 29383  df-lines 29616  df-psubsp 29618
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