Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkr0f2 Structured version   Unicode version

Theorem lkr0f2 29961
Description: The kernel of the zero functional is the set of all vectors. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lkr0f2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkr0f2.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkr0f2.k  |-  K  =  (LKer `  W )
lkr0f2.d  |-  D  =  (LDual `  W )
lkr0f2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lkr0f2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lkr0f2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lkr0f2  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =  V  <-> 
G  =  .0.  )
)

Proof of Theorem lkr0f2
StepHypRef Expression
1 lkr0f2.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lkr0f2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
3 eqid 2438 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
5 lkr0f2.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 lkr0f2.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
7 lkr0f2.k . . . 4  |-  K  =  (LKer `  W )
83, 4, 5, 6, 7lkr0f 29894 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( K `  G
)  =  V  <->  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )
91, 2, 8syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =  V  <-> 
G  =  ( V  X.  { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } ) ) )
10 lkr0f2.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
11 lkr0f2.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
125, 3, 4, 10, 11, 1ldual0v 29950 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( V  X.  { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } ) )
1312eqeq2d 2449 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  =  .0.  <->  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )
149, 13bitr4d 249 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =  V  <-> 
G  =  .0.  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   {csn 3816    X. cxp 4878   ` cfv 5456   Basecbs 13471  Scalarcsca 13534   0gc0g 13725   LModclmod 15952  LFnlclfn 29857  LKerclk 29885  LDualcld 29923
This theorem is referenced by:  lkrpssN  29963  lcfl8b  32304  lcfrlem9  32350
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-lmod 15954  df-lfl 29858  df-lkr 29886  df-ldual 29924
  Copyright terms: Public domain W3C validator