Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlsp2 Unicode version

Theorem lkrlsp2 29293
Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel is the whole vector space. (Contributed by NM, 12-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrlsp2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lkrlsp2.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lkrlsp2.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrlsp2.k  |-  K  =  (LKer `  W )
Assertion
Ref Expression
lkrlsp2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `  { X } ) )  =  V )

Proof of Theorem lkrlsp2
StepHypRef Expression
1 simp2l 981 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  ->  X  e.  V )
2 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  ->  ( G `  X )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
3 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  ->  W  e.  LVec )
4 simp2r 982 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  ->  G  e.  F )
5 lkrlsp2.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
7 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
8 lkrlsp2.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (LFnl `  W )
9 lkrlsp2.k . . . . . . . 8  |-  K  =  (LKer `  W )
105, 6, 7, 8, 9ellkr 29279 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  ( X  e.  ( K `  G )  <->  ( X  e.  V  /\  ( G `  X )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
113, 4, 10syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  ->  ( X  e.  ( K `  G )  <->  ( X  e.  V  /\  ( G `  X )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
121, 2, 11mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  ->  X  e.  ( K `  G
) )
13123expia 1153 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )
)  ->  ( ( G `  X )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  ->  X  e.  ( K `  G ) ) )
1413necon3bd 2483 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )
)  ->  ( -.  X  e.  ( K `  G )  ->  ( G `  X )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
15143impia 1148 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( G `  X )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
16 lkrlsp2.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
17 lkrlsp2.p . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
186, 7, 5, 16, 17, 8, 9lkrlsp 29292 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  ->  (
( K `  G
)  .(+)  ( N `  { X } ) )  =  V )
1915, 18syld3an3 1227 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `  { X } ) )  =  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   0gc0g 13400   LSSumclsm 14945   LSpanclspn 15728   LVecclvec 15855  LFnlclfn 29247  LKerclk 29275
This theorem is referenced by:  lkrlsp3  29294
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lfl 29248  df-lkr 29276
  Copyright terms: Public domain W3C validator