Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlsp3 Unicode version

Theorem lkrlsp3 29270
Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel is the whole vector space. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrlsp3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lkrlsp3.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrlsp3.k  |-  K  =  (LKer `  W )
Assertion
Ref Expression
lkrlsp3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( N `  ( ( K `  G )  u.  { X } ) )  =  V )

Proof of Theorem lkrlsp3
StepHypRef Expression
1 lveclmod 16098 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
213ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  W  e.  LMod )
3 simp2r 984 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  G  e.  F )
4 lkrlsp3.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (LFnl `  W )
5 lkrlsp3.k . . . . . . . 8  |-  K  =  (LKer `  W )
6 eqid 2380 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
74, 5, 6lkrlss 29261 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( K `  G )  e.  ( LSubSp `  W )
)
82, 3, 7syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( K `  G )  e.  (
LSubSp `  W ) )
9 lkrlsp3.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  W )
106, 9lspid 15978 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( K `  G )  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  ( N `  ( K `  G
) )  =  ( K `  G ) )
112, 8, 10syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( N `  ( K `  G
) )  =  ( K `  G ) )
1211uneq1d 3436 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( ( N `  ( K `  G ) )  u.  ( N `  { X } ) )  =  ( ( K `  G )  u.  ( N `  { X } ) ) )
1312fveq2d 5665 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( N `  ( ( N `  ( K `  G ) )  u.  ( N `
 { X }
) ) )  =  ( N `  (
( K `  G
)  u.  ( N `
 { X }
) ) ) )
14 lkrlsp3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
1514, 4, 5, 2, 3lkrssv 29262 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( K `  G )  C_  V
)
16 simp2l 983 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  X  e.  V )
1716snssd 3879 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  { X }  C_  V )
1814, 9lspun 15983 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( K `  G )  C_  V  /\  { X }  C_  V )  -> 
( N `  (
( K `  G
)  u.  { X } ) )  =  ( N `  (
( N `  ( K `  G )
)  u.  ( N `
 { X }
) ) ) )
192, 15, 17, 18syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( N `  ( ( K `  G )  u.  { X } ) )  =  ( N `  (
( N `  ( K `  G )
)  u.  ( N `
 { X }
) ) ) )
2014, 6, 9lspsncl 15973 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
212, 16, 20syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( N `  { X } )  e.  ( LSubSp `  W
) )
22 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
236, 9, 22lsmsp 16078 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( K `  G )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  ( ( K `
 G ) (
LSSum `  W ) ( N `  { X } ) )  =  ( N `  (
( K `  G
)  u.  ( N `
 { X }
) ) ) )
242, 8, 21, 23syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( ( K `  G )
( LSSum `  W )
( N `  { X } ) )  =  ( N `  (
( K `  G
)  u.  ( N `
 { X }
) ) ) )
2513, 19, 243eqtr4d 2422 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( N `  ( ( K `  G )  u.  { X } ) )  =  ( ( K `  G ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { X }
) ) )
2614, 9, 22, 4, 5lkrlsp2 29269 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( ( K `  G )
( LSSum `  W )
( N `  { X } ) )  =  V )
2725, 26eqtrd 2412 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( N `  ( ( K `  G )  u.  { X } ) )  =  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    u. cun 3254    C_ wss 3256   {csn 3750   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   LSSumclsm 15188   LModclmod 15870   LSubSpclss 15928   LSpanclspn 15967   LVecclvec 16094  LFnlclfn 29223  LKerclk 29251
This theorem is referenced by:  lkrshp  29271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-tpos 6408  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-subg 14861  df-cntz 15036  df-lsm 15190  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-ur 15585  df-oppr 15648  df-dvdsr 15666  df-unit 15667  df-invr 15697  df-drng 15757  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-lsp 15968  df-lvec 16095  df-lfl 29224  df-lkr 29252
  Copyright terms: Public domain W3C validator