Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlss Unicode version

Theorem lkrlss 29907
 Description: The kernel of a linear functional is a subspace. (nlelshi 22656 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlss.f LFnl
lkrlss.k LKer
lkrlss.s
Assertion
Ref Expression
lkrlss

Proof of Theorem lkrlss
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4
2 eqid 2296 . . . 4 Scalar Scalar
3 eqid 2296 . . . 4 Scalar Scalar
4 lkrlss.f . . . 4 LFnl
5 lkrlss.k . . . 4 LKer
61, 2, 3, 4, 5lkrval2 29902 . . 3 Scalar
7 ssrab2 3271 . . . 4 Scalar
87a1i 10 . . 3 Scalar
96, 8eqsstrd 3225 . 2
10 eqid 2296 . . . . . 6
111, 10lmod0vcl 15675 . . . . 5
1211adantr 451 . . . 4
132, 3, 10, 4lfl0 29877 . . . 4 Scalar
141, 2, 3, 4, 5ellkr 29901 . . . 4 Scalar
1512, 13, 14mpbir2and 888 . . 3
16 ne0i 3474 . . 3
1715, 16syl 15 . 2
18 simplll 734 . . . . . 6 Scalar
19 simplr 731 . . . . . . 7 Scalar Scalar
20 simpllr 735 . . . . . . . 8 Scalar
21 simprl 732 . . . . . . . 8 Scalar
221, 4, 5lkrcl 29904 . . . . . . . 8
2318, 20, 21, 22syl3anc 1182 . . . . . . 7 Scalar
24 eqid 2296 . . . . . . . 8
25 eqid 2296 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
261, 2, 24, 25lmodvscl 15660 . . . . . . 7 Scalar
2718, 19, 23, 26syl3anc 1182 . . . . . 6 Scalar
28 simprr 733 . . . . . . 7 Scalar
291, 4, 5lkrcl 29904 . . . . . . 7
3018, 20, 28, 29syl3anc 1182 . . . . . 6 Scalar
31 eqid 2296 . . . . . . 7
321, 31lmodvacl 15657 . . . . . 6
3318, 27, 30, 32syl3anc 1182 . . . . 5 Scalar
34 eqid 2296 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
35 eqid 2296 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
361, 31, 2, 24, 25, 34, 35, 4lfli 29873 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar
3718, 20, 19, 23, 30, 36syl113anc 1194 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar
382, 3, 4, 5lkrf0 29905 . . . . . . . . . 10 Scalar
3918, 20, 21, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
4039oveq2d 5890 . . . . . . . 8 Scalar Scalar ScalarScalar
412lmodrng 15651 . . . . . . . . . 10 Scalar
4218, 41syl 15 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
4325, 35, 3rngrz 15394 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
4442, 19, 43syl2anc 642 . . . . . . . 8 Scalar ScalarScalar Scalar
4540, 44eqtrd 2328 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar
462, 3, 4, 5lkrf0 29905 . . . . . . . 8 Scalar
4718, 20, 28, 46syl3anc 1182 . . . . . . 7 Scalar Scalar
4845, 47oveq12d 5892 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar Scalar ScalarScalar
492lmodfgrp 15652 . . . . . . . 8 Scalar
5018, 49syl 15 . . . . . . 7 Scalar Scalar
5125, 3grpidcl 14526 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar
5250, 51syl 15 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar
5325, 34, 3grplid 14528 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
5450, 52, 53syl2anc 642 . . . . . 6 Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
5537, 48, 543eqtrd 2332 . . . . 5 Scalar Scalar
561, 2, 3, 4, 5ellkr 29901 . . . . . 6 Scalar
5756ad2antrr 706 . . . . 5 Scalar Scalar
5833, 55, 57mpbir2and 888 . . . 4 Scalar
5958ralrimivva 2648 . . 3 Scalar
6059ralrimiva 2639 . 2 Scalar
61 lkrlss.s . . 3
622, 25, 1, 31, 24, 61islss 15708 . 2 Scalar
639, 17, 60, 62syl3anbrc 1136 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  crab 2560   wss 3165  c0 3468  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164   cplusg 13224  cmulr 13225  Scalarcsca 13227  cvsca 13228  c0g 13416  cgrp 14378  crg 15353  clmod 15643  clss 15705  LFnlclfn 29869  LKerclk 29897 This theorem is referenced by:  lkrssv  29908  lkrlsp  29914  lkrlsp3  29916  lkrshp  29917  lclkrlem2f  32324  lclkrlem2n  32332  lclkrlem2v  32340  lcfrlem25  32379  lcfrlem35  32389 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lfl 29870  df-lkr 29898
 Copyright terms: Public domain W3C validator