Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrsc Unicode version

Theorem lkrsc 29287
Description: The kernel of a non-zero scalar product of a functional equals the kernel of the functional. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrsc.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrsc.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lkrsc.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lkrsc.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
lkrsc.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrsc.l  |-  L  =  (LKer `  W )
lkrsc.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lkrsc.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lkrsc.r  |-  ( ph  ->  R  e.  K )
lkrsc.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lkrsc.e  |-  ( ph  ->  R  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lkrsc  |-  ( ph  ->  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  =  ( L `  G
) )

Proof of Theorem lkrsc
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lkrsc.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2353 . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
43a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
5 lkrsc.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  K )
6 lkrsc.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
7 lkrsc.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
8 lkrsc.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  (Scalar `  W )
9 lkrsc.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  D
)
10 lkrsc.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  (LFnl `  W )
118, 9, 1, 10lflf 29253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
126, 7, 11syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : V --> K )
13 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( G : V --> K  ->  G  Fn  V )
1412, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  V )
15 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( G `  v )  =  ( G `  v ) )
164, 5, 14, 15ofc2 6101 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
( G  o F 
.x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  ( ( G `  v )  .x.  R
) )
1716eqeq1d 2291 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  .0.  <->  ( ( G `
 v )  .x.  R )  =  .0.  ) )
18 lkrsc.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
19 lkrsc.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  D )
208lvecdrng 15858 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  D  e.  DivRing )
216, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  DivRing )
2221adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  D  e.  DivRing )
236adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
247adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  G  e.  F )
25 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
268, 9, 1, 10lflcl 29254 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  v  e.  V )  ->  ( G `  v )  e.  K )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( G `  v )  e.  K )
285adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  R  e.  K )
29 lkrsc.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =/=  .0.  )
3029adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  R  =/=  .0.  )
319, 18, 19, 22, 27, 28, 30drngmuleq0 15535 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( G `  v )  .x.  R
)  =  .0.  <->  ( G `  v )  =  .0.  ) )
3217, 31bitrd 244 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  .0.  <->  ( G `  v )  =  .0.  ) )
3332pm5.32da 622 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  V  /\  ( ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R } ) ) `  v )  =  .0.  )  <->  ( v  e.  V  /\  ( G `
 v )  =  .0.  ) ) )
34 lveclmod 15859 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
356, 34syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
361, 8, 9, 19, 10, 35, 7, 5lflvscl 29267 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.x.  ( V  X.  { R } ) )  e.  F )
37 lkrsc.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  W )
381, 8, 18, 10, 37ellkr 29279 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) )  e.  F
)  ->  ( v  e.  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  <->  ( v  e.  V  /\  (
( G  o F 
.x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  .0.  ) ) )
396, 36, 38syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  <->  ( v  e.  V  /\  (
( G  o F 
.x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  .0.  ) ) )
401, 8, 18, 10, 37ellkr 29279 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  (
v  e.  ( L `
 G )  <->  ( v  e.  V  /\  ( G `  v )  =  .0.  ) ) )
416, 7, 40syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  G )  <-> 
( v  e.  V  /\  ( G `  v
)  =  .0.  )
) )
4233, 39, 413bitr4d 276 . 2  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  <->  v  e.  ( L `  G ) ) )
4342eqrdv 2281 1  |-  ( ph  ->  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  =  ( L `  G
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788   {csn 3640    X. cxp 4687    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   Basecbs 13148   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   0gc0g 13400   DivRingcdr 15512   LModclmod 15627   LVecclvec 15855  LFnlclfn 29247  LKerclk 29275
This theorem is referenced by:  lkrscss  29288  ldualkrsc  29357
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lvec 15856  df-lfl 29248  df-lkr 29276
  Copyright terms: Public domain W3C validator