Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrsc Structured version   Unicode version

Theorem lkrsc 29968
Description: The kernel of a non-zero scalar product of a functional equals the kernel of the functional. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrsc.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrsc.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lkrsc.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lkrsc.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
lkrsc.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrsc.l  |-  L  =  (LKer `  W )
lkrsc.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lkrsc.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lkrsc.r  |-  ( ph  ->  R  e.  K )
lkrsc.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lkrsc.e  |-  ( ph  ->  R  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lkrsc  |-  ( ph  ->  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  =  ( L `  G
) )

Proof of Theorem lkrsc
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lkrsc.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2508 . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
5 lkrsc.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  K )
6 lkrsc.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
7 lkrsc.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
8 lkrsc.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  (Scalar `  W )
9 lkrsc.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  D
)
10 lkrsc.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  (LFnl `  W )
118, 9, 1, 10lflf 29934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
126, 7, 11syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : V --> K )
13 ffn 5594 . . . . . . . 8  |-  ( G : V --> K  ->  G  Fn  V )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  V )
15 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( G `  v )  =  ( G `  v ) )
164, 5, 14, 15ofc2 6331 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
( G  o F 
.x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  ( ( G `  v )  .x.  R
) )
1716eqeq1d 2446 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  .0.  <->  ( ( G `
 v )  .x.  R )  =  .0.  ) )
18 lkrsc.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
19 lkrsc.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  D )
208lvecdrng 16182 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  D  e.  DivRing )
216, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  DivRing )
2221adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  D  e.  DivRing )
236adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
247adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  G  e.  F )
25 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
268, 9, 1, 10lflcl 29935 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  v  e.  V )  ->  ( G `  v )  e.  K )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( G `  v )  e.  K )
285adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  R  e.  K )
29 lkrsc.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =/=  .0.  )
3029adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  R  =/=  .0.  )
319, 18, 19, 22, 27, 28, 30drngmuleq0 15863 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( G `  v )  .x.  R
)  =  .0.  <->  ( G `  v )  =  .0.  ) )
3217, 31bitrd 246 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  .0.  <->  ( G `  v )  =  .0.  ) )
3332pm5.32da 624 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  V  /\  ( ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R } ) ) `  v )  =  .0.  )  <->  ( v  e.  V  /\  ( G `
 v )  =  .0.  ) ) )
34 lveclmod 16183 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
356, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
361, 8, 9, 19, 10, 35, 7, 5lflvscl 29948 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.x.  ( V  X.  { R } ) )  e.  F )
37 lkrsc.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  W )
381, 8, 18, 10, 37ellkr 29960 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) )  e.  F
)  ->  ( v  e.  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  <->  ( v  e.  V  /\  (
( G  o F 
.x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  .0.  ) ) )
396, 36, 38syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  <->  ( v  e.  V  /\  (
( G  o F 
.x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  .0.  ) ) )
401, 8, 18, 10, 37ellkr 29960 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  (
v  e.  ( L `
 G )  <->  ( v  e.  V  /\  ( G `  v )  =  .0.  ) ) )
416, 7, 40syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  G )  <-> 
( v  e.  V  /\  ( G `  v
)  =  .0.  )
) )
4233, 39, 413bitr4d 278 . 2  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  <->  v  e.  ( L `  G ) ) )
4342eqrdv 2436 1  |-  ( ph  ->  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  =  ( L `  G
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   _Vcvv 2958   {csn 3816    X. cxp 4879    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    o Fcof 6306   Basecbs 13474   .rcmulr 13535  Scalarcsca 13537   0gc0g 13728   DivRingcdr 15840   LModclmod 15955   LVecclvec 16179  LFnlclfn 29928  LKerclk 29956
This theorem is referenced by:  lkrscss  29969  ldualkrsc  30038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-drng 15842  df-lmod 15957  df-lvec 16180  df-lfl 29929  df-lkr 29957
  Copyright terms: Public domain W3C validator