Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrsc Unicode version

Theorem lkrsc 29592
Description: The kernel of a non-zero scalar product of a functional equals the kernel of the functional. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrsc.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrsc.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lkrsc.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lkrsc.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
lkrsc.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrsc.l  |-  L  =  (LKer `  W )
lkrsc.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lkrsc.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lkrsc.r  |-  ( ph  ->  R  e.  K )
lkrsc.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lkrsc.e  |-  ( ph  ->  R  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lkrsc  |-  ( ph  ->  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  =  ( L `  G
) )

Proof of Theorem lkrsc
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lkrsc.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5709 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2482 . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
5 lkrsc.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  K )
6 lkrsc.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
7 lkrsc.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
8 lkrsc.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  (Scalar `  W )
9 lkrsc.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  D
)
10 lkrsc.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  (LFnl `  W )
118, 9, 1, 10lflf 29558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
126, 7, 11syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : V --> K )
13 ffn 5558 . . . . . . . 8  |-  ( G : V --> K  ->  G  Fn  V )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  V )
15 eqidd 2413 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( G `  v )  =  ( G `  v ) )
164, 5, 14, 15ofc2 6295 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
( G  o F 
.x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  ( ( G `  v )  .x.  R
) )
1716eqeq1d 2420 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  .0.  <->  ( ( G `
 v )  .x.  R )  =  .0.  ) )
18 lkrsc.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
19 lkrsc.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  D )
208lvecdrng 16140 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  D  e.  DivRing )
216, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  DivRing )
2221adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  D  e.  DivRing )
236adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
247adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  G  e.  F )
25 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
268, 9, 1, 10lflcl 29559 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  v  e.  V )  ->  ( G `  v )  e.  K )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( G `  v )  e.  K )
285adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  R  e.  K )
29 lkrsc.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =/=  .0.  )
3029adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  R  =/=  .0.  )
319, 18, 19, 22, 27, 28, 30drngmuleq0 15821 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( G `  v )  .x.  R
)  =  .0.  <->  ( G `  v )  =  .0.  ) )
3217, 31bitrd 245 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  .0.  <->  ( G `  v )  =  .0.  ) )
3332pm5.32da 623 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  V  /\  ( ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R } ) ) `  v )  =  .0.  )  <->  ( v  e.  V  /\  ( G `
 v )  =  .0.  ) ) )
34 lveclmod 16141 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
356, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
361, 8, 9, 19, 10, 35, 7, 5lflvscl 29572 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.x.  ( V  X.  { R } ) )  e.  F )
37 lkrsc.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  W )
381, 8, 18, 10, 37ellkr 29584 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) )  e.  F
)  ->  ( v  e.  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  <->  ( v  e.  V  /\  (
( G  o F 
.x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  .0.  ) ) )
396, 36, 38syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  <->  ( v  e.  V  /\  (
( G  o F 
.x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  .0.  ) ) )
401, 8, 18, 10, 37ellkr 29584 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  (
v  e.  ( L `
 G )  <->  ( v  e.  V  /\  ( G `  v )  =  .0.  ) ) )
416, 7, 40syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  G )  <-> 
( v  e.  V  /\  ( G `  v
)  =  .0.  )
) )
4233, 39, 413bitr4d 277 . 2  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  <->  v  e.  ( L `  G ) ) )
4342eqrdv 2410 1  |-  ( ph  ->  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  =  ( L `  G
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   _Vcvv 2924   {csn 3782    X. cxp 4843    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    o Fcof 6270   Basecbs 13432   .rcmulr 13493  Scalarcsca 13495   0gc0g 13686   DivRingcdr 15798   LModclmod 15913   LVecclvec 16137  LFnlclfn 29552  LKerclk 29580
This theorem is referenced by:  lkrscss  29593  ldualkrsc  29662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-tpos 6446  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-oppr 15691  df-dvdsr 15709  df-unit 15710  df-invr 15740  df-drng 15800  df-lmod 15915  df-lvec 16138  df-lfl 29553  df-lkr 29581
  Copyright terms: Public domain W3C validator