Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrsc Unicode version

Theorem lkrsc 29346
Description: The kernel of a non-zero scalar product of a functional equals the kernel of the functional. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrsc.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrsc.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lkrsc.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lkrsc.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
lkrsc.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrsc.l  |-  L  =  (LKer `  W )
lkrsc.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lkrsc.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lkrsc.r  |-  ( ph  ->  R  e.  K )
lkrsc.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lkrsc.e  |-  ( ph  ->  R  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lkrsc  |-  ( ph  ->  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  =  ( L `  G
) )

Proof of Theorem lkrsc
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lkrsc.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5646 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2436 . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
43a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
5 lkrsc.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  K )
6 lkrsc.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
7 lkrsc.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
8 lkrsc.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  (Scalar `  W )
9 lkrsc.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  D
)
10 lkrsc.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  (LFnl `  W )
118, 9, 1, 10lflf 29312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
126, 7, 11syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : V --> K )
13 ffn 5495 . . . . . . . 8  |-  ( G : V --> K  ->  G  Fn  V )
1412, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  V )
15 eqidd 2367 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( G `  v )  =  ( G `  v ) )
164, 5, 14, 15ofc2 6228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
( G  o F 
.x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  ( ( G `  v )  .x.  R
) )
1716eqeq1d 2374 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  .0.  <->  ( ( G `
 v )  .x.  R )  =  .0.  ) )
18 lkrsc.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
19 lkrsc.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  D )
208lvecdrng 16068 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  D  e.  DivRing )
216, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  DivRing )
2221adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  D  e.  DivRing )
236adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
247adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  G  e.  F )
25 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
268, 9, 1, 10lflcl 29313 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  v  e.  V )  ->  ( G `  v )  e.  K )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1183 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( G `  v )  e.  K )
285adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  R  e.  K )
29 lkrsc.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =/=  .0.  )
3029adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  R  =/=  .0.  )
319, 18, 19, 22, 27, 28, 30drngmuleq0 15745 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( G `  v )  .x.  R
)  =  .0.  <->  ( G `  v )  =  .0.  ) )
3217, 31bitrd 244 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  .0.  <->  ( G `  v )  =  .0.  ) )
3332pm5.32da 622 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  V  /\  ( ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R } ) ) `  v )  =  .0.  )  <->  ( v  e.  V  /\  ( G `
 v )  =  .0.  ) ) )
34 lveclmod 16069 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
356, 34syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
361, 8, 9, 19, 10, 35, 7, 5lflvscl 29326 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.x.  ( V  X.  { R } ) )  e.  F )
37 lkrsc.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  W )
381, 8, 18, 10, 37ellkr 29338 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) )  e.  F
)  ->  ( v  e.  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  <->  ( v  e.  V  /\  (
( G  o F 
.x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  .0.  ) ) )
396, 36, 38syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  <->  ( v  e.  V  /\  (
( G  o F 
.x.  ( V  X.  { R } ) ) `
 v )  =  .0.  ) ) )
401, 8, 18, 10, 37ellkr 29338 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  (
v  e.  ( L `
 G )  <->  ( v  e.  V  /\  ( G `  v )  =  .0.  ) ) )
416, 7, 40syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  G )  <-> 
( v  e.  V  /\  ( G `  v
)  =  .0.  )
) )
4233, 39, 413bitr4d 276 . 2  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  <->  v  e.  ( L `  G ) ) )
4342eqrdv 2364 1  |-  ( ph  ->  ( L `  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { R }
) ) )  =  ( L `  G
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   _Vcvv 2873   {csn 3729    X. cxp 4790    Fn wfn 5353   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    o Fcof 6203   Basecbs 13356   .rcmulr 13417  Scalarcsca 13419   0gc0g 13610   DivRingcdr 15722   LModclmod 15837   LVecclvec 16065  LFnlclfn 29306  LKerclk 29334
This theorem is referenced by:  lkrscss  29347  ldualkrsc  29416
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-tpos 6376  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-invr 15664  df-drng 15724  df-lmod 15839  df-lvec 16066  df-lfl 29307  df-lkr 29335
  Copyright terms: Public domain W3C validator