Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshp4 Unicode version

Theorem lkrshp4 29357
Description: A kernel is a hyperplane iff it doesn't contain all vectors. (Contributed by NM, 1-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshp4.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrshp4.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lkrshp4.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrshp4.k  |-  K  =  (LKer `  W )
lkrshp4.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lkrshp4.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lkrshp4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =/=  V  <->  ( K `  G )  e.  H ) )

Proof of Theorem lkrshp4
StepHypRef Expression
1 lkrshp4.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lkrshp4.h . . . . 5  |-  H  =  (LSHyp `  W )
3 lkrshp4.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
4 lkrshp4.k . . . . 5  |-  K  =  (LKer `  W )
5 lkrshp4.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
6 lkrshp4.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
71, 2, 3, 4, 5, 6lkrshpor 29356 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  \/  ( K `  G
)  =  V ) )
87orcomd 377 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =  V  \/  ( K `  G )  e.  H
) )
9 neor 2613 . . 3  |-  ( ( ( K `  G
)  =  V  \/  ( K `  G )  e.  H )  <->  ( ( K `  G )  =/=  V  ->  ( K `  G )  e.  H
) )
108, 9sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =/=  V  ->  ( K `  G
)  e.  H ) )
11 lveclmod 16069 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
125, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
1312adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  W  e.  LMod )
14 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  ( K `  G )  e.  H
)
151, 2, 13, 14lshpne 29231 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  ( K `  G )  =/=  V
)
1615ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  ->  ( K `  G
)  =/=  V ) )
1710, 16impbid 183 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =/=  V  <->  ( K `  G )  e.  H ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   ` cfv 5358   Basecbs 13356   LModclmod 15837   LVecclvec 16065  LSHypclsh 29224  LFnlclfn 29306  LKerclk 29334
This theorem is referenced by:  lkrpssN  29412  dochkrshp3  31637  lcfl9a  31754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6376  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-subg 14828  df-cntz 15003  df-lsm 15157  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-invr 15664  df-drng 15724  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-lsp 15939  df-lvec 16066  df-lshyp 29226  df-lfl 29307  df-lkr 29335
  Copyright terms: Public domain W3C validator