Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshpor Structured version   Unicode version

Theorem lkrshpor 29905
Description: The kernel of a functional is either a hyperplane or the full vector space. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshpor.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrshpor.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lkrshpor.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrshpor.k  |-  K  =  (LKer `  W )
lkrshpor.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lkrshpor.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lkrshpor  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  \/  ( K `  G
)  =  V ) )

Proof of Theorem lkrshpor
StepHypRef Expression
1 lkrshpor.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 16178 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lkrshpor.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
5 eqid 2436 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
6 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
7 lkrshpor.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lkrshpor.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  W )
9 lkrshpor.k . . . . . 6  |-  K  =  (LKer `  W )
105, 6, 7, 8, 9lkr0f 29892 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( K `  G
)  =  V  <->  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )
113, 4, 10syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =  V  <-> 
G  =  ( V  X.  { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } ) ) )
1211biimpar 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  ( K `  G )  =  V )
1312olcd 383 . 2  |-  ( (
ph  /\  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  (
( K `  G
)  e.  H  \/  ( K `  G )  =  V ) )
141adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  W  e.  LVec )
154adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  G  e.  F )
16 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
17 lkrshpor.h . . . . 5  |-  H  =  (LSHyp `  W )
187, 5, 6, 17, 8, 9lkrshp 29903 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  ( K `  G )  e.  H )
1914, 15, 16, 18syl3anc 1184 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  ( K `  G )  e.  H )
2019orcd 382 . 2  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  (
( K `  G
)  e.  H  \/  ( K `  G )  =  V ) )
2113, 20pm2.61dane 2682 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  \/  ( K `  G
)  =  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   {csn 3814    X. cxp 4876   ` cfv 5454   Basecbs 13469  Scalarcsca 13532   0gc0g 13723   LModclmod 15950   LVecclvec 16174  LSHypclsh 29773  LFnlclfn 29855  LKerclk 29883
This theorem is referenced by:  lkrshp4  29906  lkrpssN  29961  dochlkr  32183  dochkrshp  32184  lclkrlem2e  32309  lclkrlem2h  32312  lclkrlem2s  32323
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175  df-lshyp 29775  df-lfl 29856  df-lkr 29884
  Copyright terms: Public domain W3C validator