Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshpor Unicode version

Theorem lkrshpor 29590
Description: The kernel of a functional is either a hyperplane or the full vector space. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshpor.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrshpor.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lkrshpor.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrshpor.k  |-  K  =  (LKer `  W )
lkrshpor.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lkrshpor.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lkrshpor  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  \/  ( K `  G
)  =  V ) )

Proof of Theorem lkrshpor
StepHypRef Expression
1 lkrshpor.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 16133 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lkrshpor.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
5 eqid 2404 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
6 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
7 lkrshpor.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lkrshpor.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  W )
9 lkrshpor.k . . . . . 6  |-  K  =  (LKer `  W )
105, 6, 7, 8, 9lkr0f 29577 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( K `  G
)  =  V  <->  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )
113, 4, 10syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =  V  <-> 
G  =  ( V  X.  { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } ) ) )
1211biimpar 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  ( K `  G )  =  V )
1312olcd 383 . 2  |-  ( (
ph  /\  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  (
( K `  G
)  e.  H  \/  ( K `  G )  =  V ) )
141adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  W  e.  LVec )
154adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  G  e.  F )
16 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
17 lkrshpor.h . . . . 5  |-  H  =  (LSHyp `  W )
187, 5, 6, 17, 8, 9lkrshp 29588 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  ( K `  G )  e.  H )
1914, 15, 16, 18syl3anc 1184 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  ( K `  G )  e.  H )
2019orcd 382 . 2  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  (
( K `  G
)  e.  H  \/  ( K `  G )  =  V ) )
2113, 20pm2.61dane 2645 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  \/  ( K `  G
)  =  V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   {csn 3774    X. cxp 4835   ` cfv 5413   Basecbs 13424  Scalarcsca 13487   0gc0g 13678   LModclmod 15905   LVecclvec 16129  LSHypclsh 29458  LFnlclfn 29540  LKerclk 29568
This theorem is referenced by:  lkrshp4  29591  lkrpssN  29646  dochlkr  31868  dochkrshp  31869  lclkrlem2e  31994  lclkrlem2h  31997  lclkrlem2s  32008
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130  df-lshyp 29460  df-lfl 29541  df-lkr 29569
  Copyright terms: Public domain W3C validator