Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrssv Unicode version

Theorem lkrssv 29286
Description: The kernel of a linear functional is a set of vectors. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrssv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrssv.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrssv.k  |-  K  =  (LKer `  W )
lkrssv.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lkrssv.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lkrssv  |-  ( ph  ->  ( K `  G
)  C_  V )

Proof of Theorem lkrssv
StepHypRef Expression
1 lkrssv.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lkrssv.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
3 lkrssv.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
4 lkrssv.k . . . 4  |-  K  =  (LKer `  W )
5 eqid 2283 . . . 4  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
63, 4, 5lkrlss 29285 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( K `  G )  e.  ( LSubSp `  W )
)
71, 2, 6syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( K `  G
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
8 lkrssv.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
98, 5lssss 15694 . 2  |-  ( ( K `  G )  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  ( K `  G )  C_  V
)
107, 9syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( K `  G
)  C_  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255   Basecbs 13148   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689  LFnlclfn 29247  LKerclk 29275
This theorem is referenced by:  lkrscss  29288  lkrlsp3  29294  lshpkr  29307  lfl1dim  29311  lfl1dim2N  29312  lkrpssN  29353  dochlkr  31575  dochkrsat  31645  dochkrsat2  31646  dochsnkrlem1  31659  dochsnkr  31662  dochfln0  31667  dochkr1  31668  dochkr1OLDN  31669  lcfl4N  31685  lcfl5  31686  lcfl6lem  31688  lcfl6  31690  lcfl9a  31695  lclkrlem2s  31715  lclkrlem2v  31718  lclkrslem1  31727  lclkrslem2  31728  lcfrvalsnN  31731  lcfrlem4  31735  lcfrlem5  31736  lcfrlem6  31737  lcfrlem16  31748  lcfrlem26  31758  lcfrlem36  31768  lcfr  31775  mapdsn  31831  mapdrvallem2  31835  mapd0  31855  hdmaplkr  32106
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lfl 29248  df-lkr 29276
  Copyright terms: Public domain W3C validator