Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnbase Structured version   Unicode version

Theorem llnbase 30380
Description: A lattice line is a lattice element. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnbase.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
llnbase.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
Assertion
Ref Expression
llnbase  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  B )

Proof of Theorem llnbase
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3635 . . . 4  |-  ( X  e.  N  ->  -.  N  =  (/) )
2 llnbase.n . . . . 5  |-  N  =  ( LLines `  K )
32eqeq1i 2445 . . . 4  |-  ( N  =  (/)  <->  ( LLines `  K
)  =  (/) )
41, 3sylnib 297 . . 3  |-  ( X  e.  N  ->  -.  ( LLines `  K )  =  (/) )
5 fvprc 5725 . . 3  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  (
LLines `  K )  =  (/) )
64, 5nsyl2 122 . 2  |-  ( X  e.  N  ->  K  e.  _V )
7 llnbase.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 eqid 2438 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
9 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
107, 8, 9, 2islln 30377 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( X  e.  N  <->  ( X  e.  B  /\  E. p  e.  ( Atoms `  K )
p (  <o  `  K
) X ) ) )
1110simprbda 608 . 2  |-  ( ( K  e.  _V  /\  X  e.  N )  ->  X  e.  B )
126, 11mpancom 652 1  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   _Vcvv 2958   (/)c0 3630   class class class wbr 4215   ` cfv 5457   Basecbs 13474    <o ccvr 30134   Atomscatm 30135   LLinesclln 30362
This theorem is referenced by:  islln2  30382  llnnleat  30384  llnneat  30385  atcvrlln2  30390  llnexatN  30392  llncmp  30393  2llnmat  30395  islpln3  30404  llnmlplnN  30410  lplnle  30411  lplnnle2at  30412  llncvrlpln2  30428  llncvrlpln  30429  2llnmj  30431  lplncmp  30433  lplnexatN  30434  lplnexllnN  30435  2llnm2N  30439  2llnm3N  30440  2llnm4  30441  2llnmeqat  30442  dalem21  30565  dalem54  30597  dalem55  30598  dalem57  30600  dalem60  30603  llnexchb2lem  30739  llnexchb2  30740  llnexch2N  30741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-llines 30369
  Copyright terms: Public domain W3C validator