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Theorem llncmp 29636
Description: If two lattice lines are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncmp.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
llncmp.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
Assertion
Ref Expression
llncmp  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem llncmp
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  X  e.  N )
2 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  K  e.  HL )
3 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 llncmp.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LLines `  K )
53, 4llnbase 29623 . . . . . 6  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
653ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
7 eqid 2387 . . . . . 6  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
8 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
93, 7, 8, 4islln4 29621 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( X  e.  N  <->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) p ( 
<o  `  K ) X ) )
102, 6, 9syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  e.  N  <->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) p ( 
<o  `  K ) X ) )
111, 10mpbid 202 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) p (  <o  `  K ) X )
12 simpr3 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
13 hlpos 29480 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
14133ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  K  e.  Poset )
1514adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Poset )
166adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
17 simpl3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  N )
183, 4llnbase 29623 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  N  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
20 simpr1 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K ) )
213, 8atbase 29404 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p  e.  ( Base `  K ) )
23 simpr2 964 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p (  <o  `  K
) X )
24 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
25 llncmp.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
263, 25, 7cvrle 29393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  /\  p
(  <o  `  K ) X )  ->  p  .<_  X )
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p  .<_  X )
283, 25postr 14337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  Y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
( ( p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
3027, 12, 29mp2and 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p  .<_  Y )
3125, 7, 8, 4atcvrlln2 29633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  e.  N )  /\  p  .<_  Y )  ->  p
(  <o  `  K ) Y )
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p (  <o  `  K
) Y )
333, 25, 7cvrcmp 29398 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
)  /\  p  e.  ( Base `  K )
)  /\  ( p
(  <o  `  K ) X  /\  p (  <o  `  K ) Y ) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y
) )
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1202 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )
3512, 34mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  =  Y )
36353exp2 1171 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( p  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( p (  <o  `  K ) X  -> 
( X  .<_  Y  ->  X  =  Y )
) ) )
3736rexlimdv 2772 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K )
p (  <o  `  K
) X  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y ) ) )
3811, 37mpd 15 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y )
)
393, 25posref 14335 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  ->  X  .<_  X )
4014, 6, 39syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  X  .<_  X )
41 breq2 4157 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  .<_  X  <->  X  .<_  Y ) )
4240, 41syl5ibcom 212 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  =  Y  ->  X  .<_  Y ) )
4338, 42impbid 184 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2650   class class class wbr 4153   ` cfv 5394   Basecbs 13396   lecple 13463   Posetcpo 14324    <o ccvr 29377   Atomscatm 29378   HLchlt 29465   LLinesclln 29605
This theorem is referenced by:  llnnlt  29637  2llnmat  29638  llnmlplnN  29653  dalem16  29793  dalem60  29846  llnexchb2  29983
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-undef 6479  df-riota 6485  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-lat 14402  df-clat 14464  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466  df-llines 29612
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