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Theorem llncmp 30256
Description: If two lattice lines are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncmp.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
llncmp.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
Assertion
Ref Expression
llncmp  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem llncmp
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  X  e.  N )
2 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  K  e.  HL )
3 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 llncmp.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LLines `  K )
53, 4llnbase 30243 . . . . . 6  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
653ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
7 eqid 2435 . . . . . 6  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
8 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
93, 7, 8, 4islln4 30241 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( X  e.  N  <->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) p ( 
<o  `  K ) X ) )
102, 6, 9syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  e.  N  <->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) p ( 
<o  `  K ) X ) )
111, 10mpbid 202 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) p (  <o  `  K ) X )
12 simpr3 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
13 hlpos 30100 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
14133ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  K  e.  Poset )
1514adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Poset )
166adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
17 simpl3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  N )
183, 4llnbase 30243 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  N  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
20 simpr1 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K ) )
213, 8atbase 30024 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p  e.  ( Base `  K ) )
23 simpr2 964 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p (  <o  `  K
) X )
24 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
25 llncmp.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
263, 25, 7cvrle 30013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  /\  p
(  <o  `  K ) X )  ->  p  .<_  X )
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p  .<_  X )
283, 25postr 14402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  Y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
( ( p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
3027, 12, 29mp2and 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p  .<_  Y )
3125, 7, 8, 4atcvrlln2 30253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  e.  N )  /\  p  .<_  Y )  ->  p
(  <o  `  K ) Y )
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p (  <o  `  K
) Y )
333, 25, 7cvrcmp 30018 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
)  /\  p  e.  ( Base `  K )
)  /\  ( p
(  <o  `  K ) X  /\  p (  <o  `  K ) Y ) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y
) )
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1202 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )
3512, 34mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  =  Y )
36353exp2 1171 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( p  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( p (  <o  `  K ) X  -> 
( X  .<_  Y  ->  X  =  Y )
) ) )
3736rexlimdv 2821 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K )
p (  <o  `  K
) X  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y ) ) )
3811, 37mpd 15 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y )
)
393, 25posref 14400 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  ->  X  .<_  X )
4014, 6, 39syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  X  .<_  X )
41 breq2 4208 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  .<_  X  <->  X  .<_  Y ) )
4240, 41syl5ibcom 212 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  =  Y  ->  X  .<_  Y ) )
4338, 42impbid 184 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   Basecbs 13461   lecple 13528   Posetcpo 14389    <o ccvr 29997   Atomscatm 29998   HLchlt 30085   LLinesclln 30225
This theorem is referenced by:  llnnlt  30257  2llnmat  30258  llnmlplnN  30273  dalem16  30413  dalem60  30466  llnexchb2  30603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232
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