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Theorem llncmp 30393
Description: If two lattice lines are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncmp.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
llncmp.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
Assertion
Ref Expression
llncmp  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem llncmp
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 959 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  X  e.  N )
2 simp1 958 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  K  e.  HL )
3 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 llncmp.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LLines `  K )
53, 4llnbase 30380 . . . . . 6  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
653ad2ant2 980 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
7 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
8 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
93, 7, 8, 4islln4 30378 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( X  e.  N  <->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) p ( 
<o  `  K ) X ) )
102, 6, 9syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  e.  N  <->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) p ( 
<o  `  K ) X ) )
111, 10mpbid 203 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) p (  <o  `  K ) X )
12 simpr3 966 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
13 hlpos 30237 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
14133ad2ant1 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  K  e.  Poset )
1514adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Poset )
166adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
17 simpl3 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  N )
183, 4llnbase 30380 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  N  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
20 simpr1 964 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K ) )
213, 8atbase 30161 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p  e.  ( Base `  K ) )
23 simpr2 965 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p (  <o  `  K
) X )
24 simpl1 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
25 llncmp.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
263, 25, 7cvrle 30150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  /\  p
(  <o  `  K ) X )  ->  p  .<_  X )
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p  .<_  X )
283, 25postr 14415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  Y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
( ( p  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  p  .<_  Y ) )
3027, 12, 29mp2and 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p  .<_  Y )
3125, 7, 8, 4atcvrlln2 30390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  e.  N )  /\  p  .<_  Y )  ->  p
(  <o  `  K ) Y )
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  p (  <o  `  K
) Y )
333, 25, 7cvrcmp 30155 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
)  /\  p  e.  ( Base `  K )
)  /\  ( p
(  <o  `  K ) X  /\  p (  <o  `  K ) Y ) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y
) )
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1203 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )
3512, 34mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  =  Y )
36353exp2 1172 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( p  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( p (  <o  `  K ) X  -> 
( X  .<_  Y  ->  X  =  Y )
) ) )
3736rexlimdv 2831 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K )
p (  <o  `  K
) X  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y ) ) )
3811, 37mpd 15 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y )
)
393, 25posref 14413 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  ->  X  .<_  X )
4014, 6, 39syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  X  .<_  X )
41 breq2 4219 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  .<_  X  <->  X  .<_  Y ) )
4240, 41syl5ibcom 213 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  =  Y  ->  X  .<_  Y ) )
4338, 42impbid 185 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   class class class wbr 4215   ` cfv 5457   Basecbs 13474   lecple 13541   Posetcpo 14402    <o ccvr 30134   Atomscatm 30135   HLchlt 30222   LLinesclln 30362
This theorem is referenced by:  llnnlt  30394  2llnmat  30395  llnmlplnN  30410  dalem16  30550  dalem60  30603  llnexchb2  30740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-lat 14480  df-clat 14542  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369
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