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Theorem llncvrlpln2 30354
Description: A lattice line under a lattice plane is covered by it. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncvrlpln2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
llncvrlpln2.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
llncvrlpln2.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
llncvrlpln2.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
llncvrlpln2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X C Y )

Proof of Theorem llncvrlpln2
Dummy variables  q  p  r  s  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  .<_  Y )
2 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  K  e.  HL )
3 simpl3 962 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  Y  e.  P
)
4 llncvrlpln2.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LLines `  K )
5 llncvrlpln2.p . . . . . 6  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
64, 5lplnnelln 30343 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  N
)
72, 3, 6syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  -.  Y  e.  N )
8 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  e.  N
)
9 eleq1 2496 . . . . . 6  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  e.  N  <->  Y  e.  N ) )
108, 9syl5ibcom 212 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( X  =  Y  ->  Y  e.  N ) )
1110necon3bd 2638 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( -.  Y  e.  N  ->  X  =/= 
Y ) )
127, 11mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  =/=  Y
)
13 llncvrlpln2.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
1513, 14pltval 14417 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  ->  ( X ( lt
`  K ) Y  <-> 
( X  .<_  Y  /\  X  =/=  Y ) ) )
1615adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( X ( lt `  K ) Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/=  Y
) ) )
171, 12, 16mpbir2and 889 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X ( lt
`  K ) Y )
18 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  K  e.  HL )
19 simpl2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X  e.  N
)
20 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2120, 4llnbase 30306 . . . . 5  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
2219, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
23 simpl3 962 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  Y  e.  P
)
2420, 5lplnbase 30331 . . . . 5  |-  ( Y  e.  P  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
2523, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
26 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X ( lt
`  K ) Y )
27 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
28 llncvrlpln2.c . . . . 5  |-  C  =  (  <o  `  K )
29 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
3020, 13, 14, 27, 28, 29hlrelat3 30209 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  X
( lt `  K
) Y )  ->  E. r  e.  ( Atoms `  K ) ( X C ( X ( join `  K
) r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )
3118, 22, 25, 26, 30syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  E. r  e.  (
Atoms `  K ) ( X C ( X ( join `  K
) r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )
3220, 13, 27, 29, 5islpln2 30333 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  ( Y  e.  P  <->  ( Y  e.  ( Base `  K
)  /\  E. s  e.  ( Atoms `  K ) E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s (
join `  K )
t )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) ) ) ) )
3332adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  ->  ( Y  e.  P  <->  ( Y  e.  ( Base `  K )  /\  E. s  e.  ( Atoms `  K ) E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s ( join `  K
) t )  /\  Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) ) ) ) )
34 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s ( join `  K
) t )  /\  Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )  ->  Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )
3520, 27, 29, 4islln2 30308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  N  <->  ( X  e.  ( Base `  K
)  /\  E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p
( join `  K )
q ) ) ) ) )
36 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  X C ( X (
join `  K )
r ) )
37 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( X ( join `  K ) r ) 
.<_  Y )
38 simp12r 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )
3938oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( X ( join `  K ) r )  =  ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) )
40 simp22 991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )
4137, 39, 403brtr3d 4241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r ) 
.<_  ( ( s (
join `  K )
t ) ( join `  K ) u ) )
42 simp111 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
43 simp112 1087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K ) )
44 simp113 1088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
q  e.  ( Atoms `  K ) )
45 simp23 992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
r  e.  ( Atoms `  K ) )
4643, 44, 453jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
) )
47 simp13l 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
s  e.  ( Atoms `  K ) )
48 simp13r 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
t  e.  ( Atoms `  K ) )
49 simp21 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  u  e.  ( Atoms `  K ) )
5047, 48, 493jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( s  e.  (
Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
) )
5136, 38, 393brtr3d 4241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( p ( join `  K ) q ) C ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) )
5220, 27, 29hlatjcl 30164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( p
( join `  K )
q )  e.  (
Base `  K )
)
5342, 43, 44, 52syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( p ( join `  K ) q )  e.  ( Base `  K
) )
5420, 13, 27, 28, 29cvr1 30207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( p ( join `  K ) q )  e.  ( Base `  K
)  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( -.  r  .<_  ( p (
join `  K )
q )  <->  ( p
( join `  K )
q ) C ( ( p ( join `  K ) q ) ( join `  K
) r ) ) )
5542, 53, 45, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( -.  r  .<_  ( p ( join `  K ) q )  <-> 
( p ( join `  K ) q ) C ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )
5651, 55mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q ) )
57 simp12l 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  p  =/=  q )
5813, 27, 293at 30287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K ) ) )  /\  ( -.  r  .<_  ( p ( join `  K ) q )  /\  p  =/=  q
) )  ->  (
( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r ) 
.<_  ( ( s (
join `  K )
t ) ( join `  K ) u )  <-> 
( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r )  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) ) )
5942, 46, 50, 56, 57, 58syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r )  .<_  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  <->  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r )  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u ) ) )
6041, 59mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r )  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )
6160, 39, 403eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( X ( join `  K ) r )  =  Y )
6236, 61breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  X C Y )
63623exp 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  ->  (
( u  e.  (
Atoms `  K )  /\  Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) )
64633expd 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  ->  (
u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  ->  (
r  e.  ( Atoms `  K )  ->  (
( X C ( X ( join `  K
) r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) )
65643exp 1152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
p  =/=  q  /\  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )  -> 
( ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
66653expib 1156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  ->  ( (
s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) ) )
6766rexlimdvv 2836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  HL  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p (
join `  K )
q ) )  -> 
( ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
6867adantld 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  (
Base `  K )  /\  E. p  e.  (
Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
6935, 68sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  N  ->  ( ( s  e.  (
Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( u  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
7069imp31 422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) )
7134, 70syl7 65 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s ( join `  K ) t )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u ) )  ->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) )
7271rexlimdv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( E. u  e.  ( Atoms `  K ) ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s (
join `  K )
t )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
7372rexlimdvva 2837 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  ->  ( E. s  e.  ( Atoms `  K ) E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s (
join `  K )
t )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
7473adantld 454 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  ->  ( ( Y  e.  ( Base `  K
)  /\  E. s  e.  ( Atoms `  K ) E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s (
join `  K )
t )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) ) )  ->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
7533, 74sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  ->  ( Y  e.  P  ->  ( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
76753impia 1150 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  ->  ( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) )
7776rexlimdv 2829 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  ->  ( E. r  e.  ( Atoms `  K )
( X C ( X ( join `  K
) r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) )
7877imp 419 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  E. r  e.  (
Atoms `  K ) ( X C ( X ( join `  K
) r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  X C Y )
7931, 78syldan 457 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X C Y )
8017, 79syldan 457 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X C Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   lecple 13536   ltcplt 14398   joincjn 14401    <o ccvr 30060   Atomscatm 30061   HLchlt 30148   LLinesclln 30288   LPlanesclpl 30289
This theorem is referenced by:  llncvrlpln  30355  2llnmj  30357  lplncmp  30359  lplnexatN  30360  2llnm2N  30365  2lplnmj  30419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296
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