Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llncvrlpln2 Structured version   Unicode version

Theorem llncvrlpln2 30354
 Description: A lattice line under a lattice plane is covered by it. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncvrlpln2.l
llncvrlpln2.c
llncvrlpln2.n
llncvrlpln2.p
Assertion
Ref Expression
llncvrlpln2

Proof of Theorem llncvrlpln2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . 3
2 simpl1 960 . . . . 5
3 simpl3 962 . . . . 5
4 llncvrlpln2.n . . . . . 6
5 llncvrlpln2.p . . . . . 6
64, 5lplnnelln 30343 . . . . 5
72, 3, 6syl2anc 643 . . . 4
8 simpl2 961 . . . . . 6
9 eleq1 2496 . . . . . 6
108, 9syl5ibcom 212 . . . . 5
1110necon3bd 2638 . . . 4
127, 11mpd 15 . . 3
13 llncvrlpln2.l . . . . 5
14 eqid 2436 . . . . 5
1513, 14pltval 14417 . . . 4
171, 12, 16mpbir2and 889 . 2
18 simpl1 960 . . . 4
19 simpl2 961 . . . . 5
20 eqid 2436 . . . . . 6
2120, 4llnbase 30306 . . . . 5
2219, 21syl 16 . . . 4
23 simpl3 962 . . . . 5
2420, 5lplnbase 30331 . . . . 5
2523, 24syl 16 . . . 4
26 simpr 448 . . . 4
27 eqid 2436 . . . . 5
28 llncvrlpln2.c . . . . 5
29 eqid 2436 . . . . 5
3020, 13, 14, 27, 28, 29hlrelat3 30209 . . . 4
3118, 22, 25, 26, 30syl31anc 1187 . . 3
3220, 13, 27, 29, 5islpln2 30333 . . . . . . . 8
3332adantr 452 . . . . . . 7
34 simp3 959 . . . . . . . . . . 11
3520, 27, 29, 4islln2 30308 . . . . . . . . . . . . 13
36 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
37 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
38 simp12r 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3938oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
40 simp22 991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4137, 39, 403brtr3d 4241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
42 simp111 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
43 simp112 1087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
44 simp113 1088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
45 simp23 992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4643, 44, 453jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
47 simp13l 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
48 simp13r 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
49 simp21 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5047, 48, 493jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5136, 38, 393brtr3d 4241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5220, 27, 29hlatjcl 30164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5342, 43, 44, 52syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5420, 13, 27, 28, 29cvr1 30207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5542, 53, 45, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5651, 55mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
57 simp12l 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5813, 27, 293at 30287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5942, 46, 50, 56, 57, 58syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6041, 59mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6160, 39, 403eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6236, 61breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
63623exp 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64633expd 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
65643exp 1152 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66653expib 1156 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766rexlimdvv 2836 . . . . . . . . . . . . . 14
6867adantld 454 . . . . . . . . . . . . 13
6935, 68sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12
7069imp31 422 . . . . . . . . . . 11
7134, 70syl7 65 . . . . . . . . . 10
7271rexlimdv 2829 . . . . . . . . 9
7372rexlimdvva 2837 . . . . . . . 8
7473adantld 454 . . . . . . 7
7533, 74sylbid 207 . . . . . 6
76753impia 1150 . . . . 5
7776rexlimdv 2829 . . . 4
7877imp 419 . . 3
7931, 78syldan 457 . 2
8017, 79syldan 457 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469  cple 13536  cplt 14398  cjn 14401   ccvr 30060  catm 30061  chlt 30148  clln 30288  clpl 30289 This theorem is referenced by:  llncvrlpln  30355  2llnmj  30357  lplncmp  30359  lplnexatN  30360  2llnm2N  30365  2lplnmj  30419 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296
 Copyright terms: Public domain W3C validator