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Theorem llncvrlpln2 30368
Description: A lattice line under a lattice plane is covered by it. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncvrlpln2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
llncvrlpln2.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
llncvrlpln2.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
llncvrlpln2.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
llncvrlpln2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X C Y )

Proof of Theorem llncvrlpln2
Dummy variables  q  p  r  s  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  .<_  Y )
2 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  K  e.  HL )
3 simpl3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  Y  e.  P
)
4 llncvrlpln2.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LLines `  K )
5 llncvrlpln2.p . . . . . 6  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
64, 5lplnnelln 30357 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  N
)
72, 3, 6syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  -.  Y  e.  N )
8 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  e.  N
)
9 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  e.  N  <->  Y  e.  N ) )
108, 9syl5ibcom 211 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( X  =  Y  ->  Y  e.  N ) )
1110necon3bd 2496 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( -.  Y  e.  N  ->  X  =/= 
Y ) )
127, 11mpd 14 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  =/=  Y
)
13 llncvrlpln2.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
1513, 14pltval 14110 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  ->  ( X ( lt
`  K ) Y  <-> 
( X  .<_  Y  /\  X  =/=  Y ) ) )
1615adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( X ( lt `  K ) Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/=  Y
) ) )
171, 12, 16mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X ( lt
`  K ) Y )
18 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  K  e.  HL )
19 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X  e.  N
)
20 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2120, 4llnbase 30320 . . . . 5  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
2219, 21syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
23 simpl3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  Y  e.  P
)
2420, 5lplnbase 30345 . . . . 5  |-  ( Y  e.  P  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
2523, 24syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
26 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X ( lt
`  K ) Y )
27 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
28 llncvrlpln2.c . . . . 5  |-  C  =  (  <o  `  K )
29 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
3020, 13, 14, 27, 28, 29hlrelat3 30223 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  X
( lt `  K
) Y )  ->  E. r  e.  ( Atoms `  K ) ( X C ( X ( join `  K
) r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )
3118, 22, 25, 26, 30syl31anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  E. r  e.  (
Atoms `  K ) ( X C ( X ( join `  K
) r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )
3220, 13, 27, 29, 5islpln2 30347 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  ( Y  e.  P  <->  ( Y  e.  ( Base `  K
)  /\  E. s  e.  ( Atoms `  K ) E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s (
join `  K )
t )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) ) ) ) )
3332adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  ->  ( Y  e.  P  <->  ( Y  e.  ( Base `  K )  /\  E. s  e.  ( Atoms `  K ) E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s ( join `  K
) t )  /\  Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) ) ) ) )
34 simp3 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s ( join `  K
) t )  /\  Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )  ->  Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )
3520, 27, 29, 4islln2 30322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  N  <->  ( X  e.  ( Base `  K
)  /\  E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p
( join `  K )
q ) ) ) ) )
36 simp3l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  X C ( X (
join `  K )
r ) )
37 simp3r 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( X ( join `  K ) r ) 
.<_  Y )
38 simp12r 1069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )
3938oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( X ( join `  K ) r )  =  ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) )
40 simp22 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )
4137, 39, 403brtr3d 4068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r ) 
.<_  ( ( s (
join `  K )
t ) ( join `  K ) u ) )
42 simp111 1084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
43 simp112 1085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K ) )
44 simp113 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
q  e.  ( Atoms `  K ) )
45 simp23 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
r  e.  ( Atoms `  K ) )
4643, 44, 453jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
) )
47 simp13l 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
s  e.  ( Atoms `  K ) )
48 simp13r 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
t  e.  ( Atoms `  K ) )
49 simp21 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  u  e.  ( Atoms `  K ) )
5047, 48, 493jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( s  e.  (
Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
) )
5136, 38, 393brtr3d 4068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( p ( join `  K ) q ) C ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) )
5220, 27, 29hlatjcl 30178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( p
( join `  K )
q )  e.  (
Base `  K )
)
5342, 43, 44, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( p ( join `  K ) q )  e.  ( Base `  K
) )
5420, 13, 27, 28, 29cvr1 30221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( p ( join `  K ) q )  e.  ( Base `  K
)  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( -.  r  .<_  ( p (
join `  K )
q )  <->  ( p
( join `  K )
q ) C ( ( p ( join `  K ) q ) ( join `  K
) r ) ) )
5542, 53, 45, 54syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( -.  r  .<_  ( p ( join `  K ) q )  <-> 
( p ( join `  K ) q ) C ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )
5651, 55mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q ) )
57 simp12l 1068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  p  =/=  q )
5813, 27, 293at 30301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K ) ) )  /\  ( -.  r  .<_  ( p ( join `  K ) q )  /\  p  =/=  q
) )  ->  (
( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r ) 
.<_  ( ( s (
join `  K )
t ) ( join `  K ) u )  <-> 
( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r )  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) ) )
5942, 46, 50, 56, 57, 58syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r )  .<_  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  <->  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r )  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u ) ) )
6041, 59mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r )  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )
6160, 39, 403eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( X ( join `  K ) r )  =  Y )
6236, 61breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  X C Y )
63623exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  ->  (
( u  e.  (
Atoms `  K )  /\  Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) )
64633expd 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  ->  (
u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  ->  (
r  e.  ( Atoms `  K )  ->  (
( X C ( X ( join `  K
) r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) )
65643exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
p  =/=  q  /\  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )  -> 
( ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
66653expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  ->  ( (
s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) ) )
6766rexlimdvv 2686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  HL  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p (
join `  K )
q ) )  -> 
( ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
6867adantld 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  (
Base `  K )  /\  E. p  e.  (
Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
6935, 68sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  N  ->  ( ( s  e.  (
Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( u  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
7069imp31 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) )
7134, 70syl7 63 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s ( join `  K ) t )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u ) )  ->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) )
7271rexlimdv 2679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( E. u  e.  ( Atoms `  K ) ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s (
join `  K )
t )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
7372rexlimdvva 2687 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  ->  ( E. s  e.  ( Atoms `  K ) E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s (
join `  K )
t )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
7473adantld 453 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  ->  ( ( Y  e.  ( Base `  K
)  /\  E. s  e.  ( Atoms `  K ) E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s (
join `  K )
t )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) ) )  ->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
7533, 74sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  ->  ( Y  e.  P  ->  ( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
76753impia 1148 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  ->  ( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) )
7776rexlimdv 2679 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  ->  ( E. r  e.  ( Atoms `  K )
( X C ( X ( join `  K
) r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) )
7877imp 418 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  E. r  e.  (
Atoms `  K ) ( X C ( X ( join `  K
) r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  X C Y )
7931, 78syldan 456 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X C Y )
8017, 79syldan 456 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X C Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   ltcplt 14091   joincjn 14094    <o ccvr 30074   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LLinesclln 30302   LPlanesclpl 30303
This theorem is referenced by:  llncvrlpln  30369  2llnmj  30371  lplncmp  30373  lplnexatN  30374  2llnm2N  30379  2lplnmj  30433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310
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