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Theorem llnexchb2 30034
Description: Line exchange property (compare cvlatexchb2 29501 for atoms). (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
llnexch.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
llnexch.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
llnexch.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
llnexch.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
Assertion
Ref Expression
llnexchb2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  Z  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  Z )
) )

Proof of Theorem llnexchb2
Dummy variables  q  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp23 992 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  ->  Z  e.  N )
2 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  ->  K  e.  HL )
3 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 llnexch.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LLines `  K )
53, 4llnbase 29674 . . . . 5  |-  ( Z  e.  N  ->  Z  e.  ( Base `  K
) )
61, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  ->  Z  e.  ( Base `  K ) )
7 llnexch.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
8 llnexch.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
93, 7, 8, 4islln3 29675 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( Z  e.  N  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  (
p  =/=  q  /\  Z  =  ( p  .\/  q ) ) ) )
102, 6, 9syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  -> 
( Z  e.  N  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  (
p  =/=  q  /\  Z  =  ( p  .\/  q ) ) ) )
111, 10mpbid 202 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  Z  =  (
p  .\/  q )
) )
12 simp3r 986 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  ->  X  =/=  Z )
1312necomd 2626 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  ->  Z  =/=  X )
14 simp11 987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  K  e.  HL )
15 hllat 29529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  K  e.  Lat )
17 simp2l 983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  p  e.  A )
183, 8atbase 29455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  ( Base `  K
) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  p  e.  ( Base `  K
) )
20 simp2r 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  q  e.  A )
213, 8atbase 29455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  A  ->  q  e.  ( Base `  K
) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  q  e.  ( Base `  K
) )
23 simp121 1089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  X  e.  N )
243, 4llnbase 29674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
26 llnexch.l . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  K )
273, 26, 7latjle12 14411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( p  .<_  X  /\  q  .<_  X )  <-> 
( p  .\/  q
)  .<_  X ) )
2816, 19, 22, 25, 27syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  (
( p  .<_  X  /\  q  .<_  X )  <->  ( p  .\/  q )  .<_  X ) )
29 simp3 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  p  =/=  q )
307, 8, 4llni2 29677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q
)  ->  ( p  .\/  q )  e.  N
)
3114, 17, 20, 29, 30syl31anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  (
p  .\/  q )  e.  N )
3226, 4llncmp 29687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( p  .\/  q )  e.  N  /\  X  e.  N )  ->  (
( p  .\/  q
)  .<_  X  <->  ( p  .\/  q )  =  X ) )
3314, 31, 23, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  (
( p  .\/  q
)  .<_  X  <->  ( p  .\/  q )  =  X ) )
3428, 33bitr2d 246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  (
( p  .\/  q
)  =  X  <->  ( p  .<_  X  /\  q  .<_  X ) ) )
3534necon3abid 2576 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  (
( p  .\/  q
)  =/=  X  <->  -.  (
p  .<_  X  /\  q  .<_  X ) ) )
36 ianor 475 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( p  .<_  X  /\  q  .<_  X )  <->  ( -.  p  .<_  X  \/  -.  q  .<_  X ) )
3735, 36syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  (
( p  .\/  q
)  =/=  X  <->  ( -.  p  .<_  X  \/  -.  q  .<_  X ) ) )
38 simpl11 1032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  p  .<_  X )  ->  K  e.  HL )
3923adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  p  .<_  X )  ->  X  e.  N )
40 simp122 1090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  Y  e.  N )
4140adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  p  .<_  X )  ->  Y  e.  N )
42 simpl2l 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  p  .<_  X )  ->  p  e.  A )
43 simpl2r 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  p  .<_  X )  -> 
q  e.  A )
44 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  p  .<_  X )  ->  -.  p  .<_  X )
45 simp13l 1072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  A )
4645adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  p  .<_  X )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  A )
47 llnexch.m . . . . . . . . . . 11  |-  ./\  =  ( meet `  K )
4826, 7, 47, 8, 4llnexchb2lem 30033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A  /\  -.  p  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .<_  ( p  .\/  q )  <-> 
( X  ./\  Y
)  =  ( X 
./\  ( p  .\/  q ) ) ) )
4938, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 48syl331anc 1209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  p  .<_  X )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  ( p  .\/  q )  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  ( p  .\/  q ) ) ) )
5049ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  ( -.  p  .<_  X  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  ( p  .\/  q )  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
51 simpl11 1032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  ->  K  e.  HL )
5223adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  ->  X  e.  N )
5340adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  ->  Y  e.  N )
54 simpl2r 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  -> 
q  e.  A )
55 simpl2l 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  ->  p  e.  A )
56 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  ->  -.  q  .<_  X )
5745adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  A )
5826, 7, 47, 8, 4llnexchb2lem 30033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( q  e.  A  /\  p  e.  A  /\  -.  q  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .<_  ( q  .\/  p
)  <->  ( X  ./\  Y )  =  ( X 
./\  ( q  .\/  p ) ) ) )
5951, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58syl331anc 1209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  ( q  .\/  p )  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  ( q  .\/  p ) ) ) )
607, 8hlatjcom 29533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  q  e.  A )  ->  ( p  .\/  q
)  =  ( q 
.\/  p ) )
6151, 55, 54, 60syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  -> 
( p  .\/  q
)  =  ( q 
.\/  p ) )
6261breq2d 4158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  ( p  .\/  q )  <->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )
6361oveq2d 6029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  -> 
( X  ./\  (
p  .\/  q )
)  =  ( X 
./\  ( q  .\/  p ) ) )
6463eqeq2d 2391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
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( ( X  ./\  Y )  =  ( X 
./\  ( p  .\/  q ) )  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  ( q  .\/  p ) ) ) )
6559, 62, 643bitr4d 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  ( p  .\/  q )  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  ( p  .\/  q ) ) ) )
6665ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
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Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  ( -.  q  .<_  X  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  ( p  .\/  q )  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
6750, 66jaod 370 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
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( -.  p  .<_  X  \/  -.  q  .<_  X )  ->  (
( X  ./\  Y
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Y )  =  ( X  ./\  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
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( p  .\/  q
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( ( X  ./\  Y )  .<_  ( p  .\/  q )  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
69 neeq1 2551 . . . . . . 7  |-  ( Z  =  ( p  .\/  q )  ->  ( Z  =/=  X  <->  ( p  .\/  q )  =/=  X
) )
70 breq2 4150 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .<_  Z  <->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( p 
.\/  q ) ) )
71 oveq2 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  =  ( p  .\/  q )  ->  ( X  ./\  Z )  =  ( X  ./\  (
p  .\/  q )
) )
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( ( X  ./\  Y )  .<_  Z  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  Z )
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( X  ./\  Y
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( Z  =/=  X  ->  ( ( X  ./\  Y )  .<_  Z  <->  ( X  ./\ 
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p  .\/  q )  =/=  X  ->  ( ( X  ./\  Y )  .<_  ( p  .\/  q )  <-> 
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7776imp4a 573 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
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p  .\/  q )
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   E.wrex 2643   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   lecple 13456   joincjn 14321   meetcmee 14322   Latclat 14394   Atomscatm 29429   HLchlt 29516   LLinesclln 29656
This theorem is referenced by:  llnexch2N  30035  cdleme20l  30487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-undef 6472  df-riota 6478  df-poset 14323  df-plt 14335  df-lub 14351  df-glb 14352  df-join 14353  df-meet 14354  df-p0 14388  df-lat 14395  df-clat 14457  df-oposet 29342  df-ol 29344  df-oml 29345  df-covers 29432  df-ats 29433  df-atl 29464  df-cvlat 29488  df-hlat 29517  df-llines 29663  df-psubsp 29668  df-pmap 29669  df-padd 29961
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