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Theorem llnexchb2lem 30679
Description: Lemma for llnexchb2 30680. (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
llnexch.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
llnexch.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
llnexch.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
llnexch.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
Assertion
Ref Expression
llnexchb2lem  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  <-> 
( X  ./\  Y
)  =  ( X 
./\  ( P  .\/  Q ) ) ) )

Proof of Theorem llnexchb2lem
StepHypRef Expression
1 simpl11 1030 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  K  e.  HL )
2 simpl21 1033 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  P  e.  A )
3 simpl12 1031 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  X  e.  N )
4 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
5 llnexch.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LLines `  K )
64, 5llnbase 30320 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
73, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
8 hllat 30175 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
91, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  K  e.  Lat )
10 simpl13 1032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  Y  e.  N )
114, 5llnbase 30320 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  N  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1210, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
13 llnexch.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
144, 13latmcl 14173 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
159, 7, 12, 14syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
16 llnexch.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
174, 16, 13latmle1 14198 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
189, 7, 12, 17syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  X )
19 llnexch.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
20 llnexch.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
214, 16, 19, 13, 20atmod2i2 30673 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  X )  ->  (
( X  ./\  P
)  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( X  ./\  ( P  .\/  ( X  ./\  Y ) ) ) )
221, 2, 7, 15, 18, 21syl131anc 1195 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( ( X  ./\  P )  .\/  ( X 
./\  Y ) )  =  ( X  ./\  ( P  .\/  ( X 
./\  Y ) ) ) )
234, 20atbase 30101 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
242, 23syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
254, 13latmcom 14197 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  P )  =  ( P  ./\  X
) )
269, 7, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  P
)  =  ( P 
./\  X ) )
27 simpl23 1035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  -.  P  .<_  X )
28 hlatl 30172 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
291, 28syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  K  e.  AtLat )
30 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
314, 16, 13, 30, 20atnle 30129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  P  e.  A  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( -.  P  .<_  X  <->  ( P  ./\ 
X )  =  ( 0. `  K ) ) )
3229, 2, 7, 31syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( -.  P  .<_  X  <-> 
( P  ./\  X
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
3327, 32mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( P  ./\  X
)  =  ( 0.
`  K ) )
3426, 33eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  P
)  =  ( 0.
`  K ) )
3534oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( ( X  ./\  P )  .\/  ( X 
./\  Y ) )  =  ( ( 0.
`  K )  .\/  ( X  ./\  Y ) ) )
36 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  ( P  .\/  Q ) )
37 hlcvl 30171 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CvLat )
381, 37syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  K  e.  CvLat )
39 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  A )
40 simpl22 1034 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  Q  e.  A )
41 breq1 4042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( P  .<_  X  <->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
)
4218, 41syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( P  =  ( X  ./\  Y )  ->  P  .<_  X )
)
4342necon3bd 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( -.  P  .<_  X  ->  P  =/=  ( X  ./\  Y ) ) )
4427, 43mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  P  =/=  ( X  ./\  Y ) )
4544necomd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  =/=  P )
4616, 19, 20cvlatexchb1 30146 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  P )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  <-> 
( P  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
4738, 39, 40, 2, 45, 46syl131anc 1195 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  ( P  .\/  ( X  ./\  Y
) )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
4836, 47mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( P  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  ( P  .\/  Q ) )
4948oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  ( P  .\/  ( X  ./\  Y ) ) )  =  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) )
5022, 35, 493eqtr3rd 2337 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( 0.
`  K )  .\/  ( X  ./\  Y ) ) )
51 hlol 30173 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
521, 51syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  K  e.  OL )
534, 19, 30olj02 30038 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( 0. `  K
)  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) )
5452, 15, 53syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( ( 0. `  K )  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  ( X  ./\  Y ) )
5550, 54eqtr2d 2329 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  =  ( X 
./\  ( P  .\/  Q ) ) )
5655ex 423 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  ( X  ./\  Y )  =  ( X 
./\  ( P  .\/  Q ) ) ) )
57 simp11 985 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  K  e.  HL )
5857, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
59 simp12 986 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  e.  N
)
6059, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
61 simp21 988 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  P  e.  A
)
62 simp22 989 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  Q  e.  A
)
634, 19, 20hlatjcl 30178 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
6457, 61, 62, 63syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K ) )
654, 16, 13latmle2 14199 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
6658, 60, 64, 65syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( P  .\/  Q ) )
67 breq1 4042 . . 3  |-  ( ( X  ./\  Y )  =  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  <-> 
( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) 
.<_  ( P  .\/  Q
) ) )
6866, 67syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( ( X 
./\  Y )  =  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
6956, 68impbid 183 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  <-> 
( X  ./\  Y
)  =  ( X 
./\  ( P  .\/  Q ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   meetcmee 14095   0.cp0 14159   Latclat 14167   OLcol 29986   Atomscatm 30075   AtLatcal 30076   CvLatclc 30077   HLchlt 30162   LLinesclln 30302
This theorem is referenced by:  llnexchb2  30680
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607
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