Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnle Structured version   Unicode version

Theorem llnle 30389
 Description: Any element greater than 0 and not an atom majorizes a lattice line. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnle.b
llnle.l
llnle.z
llnle.a
llnle.n
Assertion
Ref Expression
llnle
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem llnle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 732 . . 3
2 simplr 733 . . 3
3 simprl 734 . . 3
4 llnle.b . . . 4
5 llnle.l . . . 4
6 llnle.z . . . 4
7 llnle.a . . . 4
84, 5, 6, 7atle 30307 . . 3
91, 2, 3, 8syl3anc 1185 . 2
10 simp1ll 1021 . . . . . 6
114, 7atbase 30161 . . . . . . 7
12113ad2ant2 980 . . . . . 6
13 simp1lr 1022 . . . . . 6
14 simp3 960 . . . . . . 7
15 simp2 959 . . . . . . . 8
16 simp1rr 1024 . . . . . . . 8
17 nelne2 2696 . . . . . . . 8
1815, 16, 17syl2anc 644 . . . . . . 7
19 eqid 2438 . . . . . . . . 9
205, 19pltval 14422 . . . . . . . 8
2110, 15, 13, 20syl3anc 1185 . . . . . . 7
2214, 18, 21mpbir2and 890 . . . . . 6
23 eqid 2438 . . . . . . 7
24 eqid 2438 . . . . . . 7
254, 5, 19, 23, 24, 7hlrelat3 30283 . . . . . 6
2610, 12, 13, 22, 25syl31anc 1188 . . . . 5
27 simp1ll 1021 . . . . . . . . . . 11
28 simp21 991 . . . . . . . . . . . 12
29 simp23 993 . . . . . . . . . . . 12
304, 23, 7hlatjcl 30238 . . . . . . . . . . . 12
3127, 28, 29, 30syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11
32 simp3l 986 . . . . . . . . . . 11
33 llnle.n . . . . . . . . . . . 12
344, 24, 7, 33llni 30379 . . . . . . . . . . 11
3527, 31, 28, 32, 34syl31anc 1188 . . . . . . . . . 10
36 simp3r 987 . . . . . . . . . 10
37 breq1 4218 . . . . . . . . . . 11
3837rspcev 3054 . . . . . . . . . 10
3935, 36, 38syl2anc 644 . . . . . . . . 9
40393exp 1153 . . . . . . . 8
41403expd 1171 . . . . . . 7
42413imp 1148 . . . . . 6
4342rexlimdv 2831 . . . . 5
4426, 43mpd 15 . . . 4
45443exp 1153 . . 3
4645rexlimdv 2831 . 2
479, 46mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wrex 2708   class class class wbr 4215  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474  cple 13541  cplt 14403  cjn 14406  cp0 14471   ccvr 30134  catm 30135  chlt 30222  clln 30362 This theorem is referenced by:  llnmlplnN  30410  lplnle  30411  llncvrlpln  30429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-lat 14480  df-clat 14542  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369
 Copyright terms: Public domain W3C validator