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Theorem llnmlplnN 30336
Description: The intersection of a line with a plane not containing it is an atom. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
llnmlpln.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
llnmlpln.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
llnmlpln.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
llnmlpln.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
llnmlpln.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
llnmlpln.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
llnmlplnN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)

Proof of Theorem llnmlplnN
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 733 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  -.  X  .<_  Y )
2 simp11 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  K  e.  HL )
3 hllat 30161 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
5 simp12 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  e.  N
)
6 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 llnmlpln.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LLines `  K )
86, 7llnbase 30306 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
95, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
10 simp13 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  Y  e.  P
)
11 llnmlpln.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
126, 11lplnbase 30331 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  P  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1310, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
14 llnmlpln.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
156, 14latmcl 14480 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
164, 9, 13, 15syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K ) )
17 simp2r 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
18 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  -.  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)
19 llnmlpln.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
20 llnmlpln.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
21 llnmlpln.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
226, 19, 20, 21, 7llnle 30315 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A ) )  ->  E. u  e.  N  u  .<_  ( X  ./\  Y )
)
232, 16, 17, 18, 22syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  E. u  e.  N  u  .<_  ( X  ./\  Y ) )
244adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  K  e.  Lat )
2516adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
269adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
276, 19, 14latmle1 14505 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
284, 9, 13, 27syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
2928adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
306, 7llnbase 30306 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  N  ->  u  e.  ( Base `  K
) )
3130ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  e.  ( Base `  K
) )
32 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  .<_  ( X  ./\  Y
) )
336, 19, 24, 31, 25, 26, 32, 29lattrd 14487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  .<_  X )
34 simpl11 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  K  e.  HL )
35 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  e.  N )
36 simpl12 1033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  X  e.  N )
3719, 7llncmp 30319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  u  e.  N  /\  X  e.  N )  ->  ( u  .<_  X  <->  u  =  X ) )
3834, 35, 36, 37syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  (
u  .<_  X  <->  u  =  X ) )
3933, 38mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  =  X )
4039, 32eqbrtrrd 4234 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  X  .<_  ( X  ./\  Y
) )
416, 19, 24, 25, 26, 29, 40latasymd 14486 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  ( X  ./\  Y )  =  X )
4223, 41rexlimddv 2834 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  =  X )
436, 19, 14latleeqm1 14508 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
444, 9, 13, 43syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  .<_  Y  <-> 
( X  ./\  Y
)  =  X ) )
4542, 44mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  .<_  Y )
46453expia 1155 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  ( -.  ( X  ./\  Y )  e.  A  ->  X  .<_  Y ) )
471, 46mt3d 119 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   lecple 13536   meetcmee 14402   0.cp0 14466   Latclat 14474   Atomscatm 30061   HLchlt 30148   LLinesclln 30288   LPlanesclpl 30289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296
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