Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnmlplnN Unicode version

Theorem llnmlplnN 30350
Description: The intersection of a line with a plane not containing it is an atom. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
llnmlpln.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
llnmlpln.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
llnmlpln.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
llnmlpln.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
llnmlpln.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
llnmlpln.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
llnmlplnN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)

Proof of Theorem llnmlplnN
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 732 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  -.  X  .<_  Y )
2 simp11 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  K  e.  HL )
3 hllat 30175 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
42, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
5 simp12 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  e.  N
)
6 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 llnmlpln.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LLines `  K )
86, 7llnbase 30320 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
95, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
10 simp13 987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  Y  e.  P
)
11 llnmlpln.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
126, 11lplnbase 30345 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  P  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1310, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
14 llnmlpln.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
156, 14latmcl 14173 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
164, 9, 13, 15syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K ) )
17 simp2r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
18 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  -.  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)
19 llnmlpln.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
20 llnmlpln.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
21 llnmlpln.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
226, 19, 20, 21, 7llnle 30329 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A ) )  ->  E. u  e.  N  u  .<_  ( X  ./\  Y )
)
232, 16, 17, 18, 22syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  E. u  e.  N  u  .<_  ( X  ./\  Y ) )
244adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  K  e.  Lat )
2516adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
269adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
276, 19, 14latmle1 14198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
284, 9, 13, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
2928adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
306, 7llnbase 30320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  N  ->  u  e.  ( Base `  K
) )
3130ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  e.  ( Base `  K
) )
32 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  .<_  ( X  ./\  Y
) )
336, 19, 24, 31, 25, 26, 32, 29lattrd 14180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  .<_  X )
34 simpl11 1030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  K  e.  HL )
35 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  e.  N )
36 simpl12 1031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  X  e.  N )
3719, 7llncmp 30333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  u  e.  N  /\  X  e.  N )  ->  ( u  .<_  X  <->  u  =  X ) )
3834, 35, 36, 37syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  (
u  .<_  X  <->  u  =  X ) )
3933, 38mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  =  X )
4039, 32eqbrtrrd 4061 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  X  .<_  ( X  ./\  Y
) )
416, 19, 24, 25, 26, 29, 40latasymd 14179 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  ( X  ./\  Y )  =  X )
4241exp32 588 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( u  e.  N  ->  ( u  .<_  ( X  ./\  Y
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) ) )
4342rexlimdv 2679 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( E. u  e.  N  u  .<_  ( X  ./\  Y )  ->  ( X  ./\  Y
)  =  X ) )
4423, 43mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  =  X )
456, 19, 14latleeqm1 14201 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
464, 9, 13, 45syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  .<_  Y  <-> 
( X  ./\  Y
)  =  X ) )
4744, 46mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  .<_  Y )
48473expia 1153 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  ( -.  ( X  ./\  Y )  e.  A  ->  X  .<_  Y ) )
491, 48mt3d 117 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   meetcmee 14095   0.cp0 14159   Latclat 14167   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LLinesclln 30302   LPlanesclpl 30303
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310
  Copyright terms: Public domain W3C validator