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Theorem llnmlplnN 29728
Description: The intersection of a line with a plane not containing it is an atom. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
llnmlpln.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
llnmlpln.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
llnmlpln.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
llnmlpln.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
llnmlpln.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
llnmlpln.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
llnmlplnN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)

Proof of Theorem llnmlplnN
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 732 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  -.  X  .<_  Y )
2 simp11 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  K  e.  HL )
3 hllat 29553 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
42, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
5 simp12 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  e.  N
)
6 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 llnmlpln.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LLines `  K )
86, 7llnbase 29698 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
95, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
10 simp13 987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  Y  e.  P
)
11 llnmlpln.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
126, 11lplnbase 29723 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  P  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1310, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
14 llnmlpln.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
156, 14latmcl 14157 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
164, 9, 13, 15syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K ) )
17 simp2r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
18 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  -.  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)
19 llnmlpln.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
20 llnmlpln.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
21 llnmlpln.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
226, 19, 20, 21, 7llnle 29707 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A ) )  ->  E. u  e.  N  u  .<_  ( X  ./\  Y )
)
232, 16, 17, 18, 22syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  E. u  e.  N  u  .<_  ( X  ./\  Y ) )
244adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  K  e.  Lat )
2516adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
269adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
276, 19, 14latmle1 14182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
284, 9, 13, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
2928adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
306, 7llnbase 29698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  N  ->  u  e.  ( Base `  K
) )
3130ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  e.  ( Base `  K
) )
32 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  .<_  ( X  ./\  Y
) )
336, 19, 24, 31, 25, 26, 32, 29lattrd 14164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  .<_  X )
34 simpl11 1030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  K  e.  HL )
35 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  e.  N )
36 simpl12 1031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  X  e.  N )
3719, 7llncmp 29711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  u  e.  N  /\  X  e.  N )  ->  ( u  .<_  X  <->  u  =  X ) )
3834, 35, 36, 37syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  (
u  .<_  X  <->  u  =  X ) )
3933, 38mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  =  X )
4039, 32eqbrtrrd 4045 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  X  .<_  ( X  ./\  Y
) )
416, 19, 24, 25, 26, 29, 40latasymd 14163 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  ( X  ./\  Y )  =  X )
4241exp32 588 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( u  e.  N  ->  ( u  .<_  ( X  ./\  Y
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) ) )
4342rexlimdv 2666 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( E. u  e.  N  u  .<_  ( X  ./\  Y )  ->  ( X  ./\  Y
)  =  X ) )
4423, 43mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  =  X )
456, 19, 14latleeqm1 14185 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
464, 9, 13, 45syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  .<_  Y  <-> 
( X  ./\  Y
)  =  X ) )
4744, 46mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  .<_  Y )
48473expia 1153 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  ( -.  ( X  ./\  Y )  e.  A  ->  X  .<_  Y ) )
491, 48mt3d 117 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   meetcmee 14079   0.cp0 14143   Latclat 14151   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LLinesclln 29680   LPlanesclpl 29681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688
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