MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  llycmpkgen Structured version   Unicode version

Theorem llycmpkgen 17586
Description: A locally compact space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
llycmpkgen  |-  ( J  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  J  e.  ran 𝑘Gen )

Proof of Theorem llycmpkgen
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2  |-  U. J  =  U. J
2 nllytop 17538 . 2  |-  ( J  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  J  e.  Top )
3 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e. 𝑛Locally  Comp )
41topopn 16981 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
52, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( J  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  U. J  e.  J
)
65adantr 453 . . . 4  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  U. J  e.  J )
7 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  U. J )
8 nllyi 17540 . . . 4  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  U. J  e.  J  /\  x  e. 
U. J )  ->  E. k  e.  (
( nei `  J
) `  { x } ) ( k 
C_  U. J  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )
93, 6, 7, 8syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( k 
C_  U. J  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )
10 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( k  C_  U. J  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp )  ->  ( Jt  k )  e.  Comp )
1110reximi 2815 . . 3  |-  ( E. k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
) ( k  C_  U. J  /\  ( Jt  k )  e.  Comp )  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
129, 11syl 16 . 2  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
131, 2, 12llycmpkgen2 17584 1  |-  ( J  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  J  e.  ran 𝑘Gen )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   E.wrex 2708    C_ wss 3322   {csn 3816   U.cuni 4017   ran crn 4881   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   ↾t crest 13650   Topctop 16960   neicnei 17163   Compccmp 17451  𝑛Locally cnlly 17530  𝑘Genckgen 17567
This theorem is referenced by:  txkgen  17686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115  df-fi 7418  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-ntr 17086  df-nei 17164  df-cmp 17452  df-nlly 17532  df-kgen 17568
  Copyright terms: Public domain W3C validator