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Theorem llycmpkgen2 17261
Description: A locally compact space is compactly generated. (This variant of llycmpkgen 17263 uses the weaker definition of locally compact, "every point has a compact neighborhood", instead of "every point has a local base of compact neighborhoods".) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iskgen3.1  |-  X  = 
U. J
llycmpkgen2.2  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
llycmpkgen2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
Assertion
Ref Expression
llycmpkgen2  |-  ( ph  ->  J  e.  ran 𝑘Gen )
Distinct variable groups:    x, k, J    ph, k, x    k, X
Allowed substitution hint:    X( x)

Proof of Theorem llycmpkgen2
Dummy variables  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llycmpkgen2.2 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
2 elssuni 3871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  u  C_  U. (𝑘Gen `  J
) )
32adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )  ->  u  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
4 iskgen3.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  = 
U. J
54kgenuni 17250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
61, 5syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
76adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )  ->  X  =  U. (𝑘Gen
`  J ) )
83, 7sseqtr4d 3228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )  ->  u  C_  X
)
98sselda 3193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  u
)  ->  x  e.  X )
10 llycmpkgen2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
1110adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  X
)  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
129, 11syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  u
)  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
131ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  J  e.  Top )
14 difss 3316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X 
\  ( k  \  u ) )  C_  X
154ntropn 16802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  (
k  \  u )
)  C_  X )  ->  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  e.  J )
1613, 14, 15sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( X  \  (
k  \  u )
) )  e.  J
)
17 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
184neii1 16859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )  ->  k  C_  X )
1913, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  k  C_  X )
204ntropn 16802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  k )  e.  J )
2113, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  k )  e.  J
)
22 inopn 16661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  e.  J  /\  ( ( int `  J ) `
 k )  e.  J )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  e.  J )
2313, 16, 21, 22syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  e.  J )
24 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )  i^i  k )  C_  (
( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )
25 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  u )
264ntrss2 16810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  k )  C_  k )
2713, 19, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  k )  C_  k
)
289adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  X )
2928snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  { x }  C_  X )
304neiint 16857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { x }  C_  X  /\  k  C_  X )  ->  ( k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  k
) ) )
3113, 29, 19, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  k
) ) )
3217, 31mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  k
) )
33 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
3433snss 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( int `  J ) `  k
)  <->  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  k )
)
3532, 34sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( int `  J
) `  k )
)
3627, 35sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  k )
37 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( u  i^i  k )  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  k ) )
3825, 36, 37sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( u  i^i  k
) )
39 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )
40 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( Jt  k
)  e.  Comp )
41 kgeni 17248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )  ->  ( u  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
4239, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
43 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  k  e. 
_V
44 resttop 16907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  e.  _V )  ->  ( Jt  k )  e. 
Top )
4513, 43, 44sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( Jt  k
)  e.  Top )
46 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  i^i  k )  C_  k
474restuni 16909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  C_  X )  -> 
k  =  U. ( Jt  k ) )
4813, 19, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  k  =  U. ( Jt  k ) )
4946, 48syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  C_  U. ( Jt  k ) )
50 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. ( Jt  k )  =  U. ( Jt  k )
5150isopn3 16819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Jt  k )  e. 
Top  /\  ( u  i^i  k )  C_  U. ( Jt  k ) )  -> 
( ( u  i^i  k )  e.  ( Jt  k )  <->  ( ( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k ) )  =  ( u  i^i  k ) ) )
5245, 49, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
u  i^i  k )  e.  ( Jt  k )  <->  ( ( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k ) )  =  ( u  i^i  k ) ) )
5342, 52mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k ) )  =  ( u  i^i  k ) )
5446a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  C_  k
)
55 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Jt  k )  =  ( Jt  k )
564, 55restntr 16928 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  C_  X  /\  (
u  i^i  k )  C_  k )  ->  (
( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k
) )  =  ( ( ( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )  i^i  k ) )
5713, 19, 54, 56syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k ) )  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( ( u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )  i^i  k ) )
5853, 57eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  =  ( ( ( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )  i^i  k ) )
5938, 58eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( ( int `  J ) `  (
( u  i^i  k
)  u.  ( X 
\  k ) ) )  i^i  k ) )
6024, 59sseldi 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) ) )
61 undif3 3442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  i^i  k )  u.  ( X  \ 
k ) )  =  ( ( ( u  i^i  k )  u.  X )  \  (
k  \  ( u  i^i  k ) ) )
62 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  i^i  k )  =  ( k  i^i  u
)
6362difeq2i 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k 
\  ( u  i^i  k ) )  =  ( k  \  (
k  i^i  u )
)
64 difin 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k 
\  ( k  i^i  u ) )  =  ( k  \  u
)
6563, 64eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k 
\  ( u  i^i  k ) )  =  ( k  \  u
)
6665difeq2i 3304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u  i^i  k
)  u.  X ) 
\  ( k  \ 
( u  i^i  k
) ) )  =  ( ( ( u  i^i  k )  u.  X )  \  (
k  \  u )
)
6761, 66eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  i^i  k )  u.  ( X  \ 
k ) )  =  ( ( ( u  i^i  k )  u.  X )  \  (
k  \  u )
)
6846, 19syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  C_  X
)
69 ssequn1 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  i^i  k ) 
C_  X  <->  ( (
u  i^i  k )  u.  X )  =  X )
7068, 69sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
u  i^i  k )  u.  X )  =  X )
7170difeq1d 3306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( u  i^i  k
)  u.  X ) 
\  ( k  \  u ) )  =  ( X  \  (
k  \  u )
) )
7267, 71syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) )  =  ( X  \  ( k 
\  u ) ) )
7372fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( ( u  i^i  k )  u.  ( X  \  k ) ) )  =  ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) ) )
7460, 73eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) ) )
75 elin 3371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  <->  ( x  e.  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  /\  x  e.  ( ( int `  J ) `  k ) ) )
7674, 35, 75sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  ( k  \  u ) ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  k
) ) )
77 sslin 3408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( int `  J
) `  k )  C_  k  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  k ) )
7827, 77syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  k ) )
794ntrss2 16810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  (
k  \  u )
)  C_  X )  ->  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  C_  ( X  \  (
k  \  u )
) )
8013, 14, 79sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( X  \  (
k  \  u )
) )  C_  ( X  \  ( k  \  u ) ) )
8180, 14syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( X  \  (
k  \  u )
) )  C_  X
)
82 reldisj 3511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  C_  X  ->  ( ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( k  \  u
) )  =  (/)  <->  (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  C_  ( X  \  (
k  \  u )
) ) )
8381, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( k  \  u
) )  =  (/)  <->  (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  C_  ( X  \  (
k  \  u )
) ) )
8480, 83mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( k  \  u
) )  =  (/) )
85 inssdif0 3534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  k )  C_  u  <->  ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( k  \  u
) )  =  (/) )
8684, 85sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  k )  C_  u
)
8778, 86sstrd 3202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  u )
88 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  ->  ( x  e.  z  <->  x  e.  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
) ) )
89 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  ->  ( z  C_  u  <->  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  u )
)
9088, 89anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  ->  ( (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  <->  ( x  e.  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  ( k  \  u ) ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  k
) )  /\  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  u )
) )
9190rspcev 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  ( k  \  u ) ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  k
) )  e.  J  /\  ( x  e.  ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  /\  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  u )
)  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
9223, 76, 87, 91syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
9392expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
9493rexlimdva 2680 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  u
)  ->  ( E. k  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) ( Jt  k )  e. 
Comp  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
9512, 94mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  u
)  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
9695ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )  ->  A. x  e.  u  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
9796ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  A. x  e.  u  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
98 eltop2 16729 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
u  e.  J  <->  A. x  e.  u  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
991, 98syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  J  <->  A. x  e.  u  E. z  e.  J  (
x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
10097, 99sylibrd 225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( u  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  u  e.  J ) )
101100ssrdv 3198 . 2  |-  ( ph  ->  (𝑘Gen `  J )  C_  J )
102 iskgen2 17259 . 2  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  <->  ( J  e. 
Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)
1031, 101, 102sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  J  e.  ran 𝑘Gen )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   Topctop 16647   intcnt 16770   neicnei 16850   Compccmp 17129  𝑘Genckgen 17244
This theorem is referenced by:  cmpkgen  17262  llycmpkgen  17263
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-cmp 17130  df-kgen 17245
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