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Theorem llycmpkgen2 17245
Description: A locally compact space is compactly generated. (This variant of llycmpkgen 17247 uses the weaker definition of locally compact, "every point has a compact neighborhood", instead of "every point has a local base of compact neighborhoods".) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iskgen3.1  |-  X  = 
U. J
llycmpkgen2.2  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
llycmpkgen2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
Assertion
Ref Expression
llycmpkgen2  |-  ( ph  ->  J  e.  ran 𝑘Gen )
Distinct variable groups:    x, k, J    ph, k, x    k, X
Allowed substitution hint:    X( x)

Proof of Theorem llycmpkgen2
Dummy variables  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llycmpkgen2.2 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
2 elssuni 3855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  u  C_  U. (𝑘Gen `  J
) )
32adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )  ->  u  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
4 iskgen3.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  = 
U. J
54kgenuni 17234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
61, 5syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
76adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )  ->  X  =  U. (𝑘Gen
`  J ) )
83, 7sseqtr4d 3215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )  ->  u  C_  X
)
98sselda 3180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  u
)  ->  x  e.  X )
10 llycmpkgen2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
1110adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  X
)  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
129, 11syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  u
)  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
131ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  J  e.  Top )
14 difss 3303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X 
\  ( k  \  u ) )  C_  X
154ntropn 16786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  (
k  \  u )
)  C_  X )  ->  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  e.  J )
1613, 14, 15sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( X  \  (
k  \  u )
) )  e.  J
)
17 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
184neii1 16843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )  ->  k  C_  X )
1913, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  k  C_  X )
204ntropn 16786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  k )  e.  J )
2113, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  k )  e.  J
)
22 inopn 16645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  e.  J  /\  ( ( int `  J ) `
 k )  e.  J )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  e.  J )
2313, 16, 21, 22syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  e.  J )
24 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )  i^i  k )  C_  (
( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )
25 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  u )
264ntrss2 16794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  k )  C_  k )
2713, 19, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  k )  C_  k
)
289adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  X )
2928snssd 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  { x }  C_  X )
304neiint 16841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { x }  C_  X  /\  k  C_  X )  ->  ( k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  k
) ) )
3113, 29, 19, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  k
) ) )
3217, 31mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  k
) )
33 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
3433snss 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( int `  J ) `  k
)  <->  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  k )
)
3532, 34sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( int `  J
) `  k )
)
3627, 35sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  k )
37 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( u  i^i  k )  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  k ) )
3825, 36, 37sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( u  i^i  k
) )
39 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )
40 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( Jt  k
)  e.  Comp )
41 kgeni 17232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )  ->  ( u  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
4239, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
43 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  k  e. 
_V
44 resttop 16891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  e.  _V )  ->  ( Jt  k )  e. 
Top )
4513, 43, 44sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( Jt  k
)  e.  Top )
46 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  i^i  k )  C_  k
474restuni 16893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  C_  X )  -> 
k  =  U. ( Jt  k ) )
4813, 19, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  k  =  U. ( Jt  k ) )
4946, 48syl5sseq 3226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  C_  U. ( Jt  k ) )
50 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. ( Jt  k )  =  U. ( Jt  k )
5150isopn3 16803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Jt  k )  e. 
Top  /\  ( u  i^i  k )  C_  U. ( Jt  k ) )  -> 
( ( u  i^i  k )  e.  ( Jt  k )  <->  ( ( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k ) )  =  ( u  i^i  k ) ) )
5245, 49, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
u  i^i  k )  e.  ( Jt  k )  <->  ( ( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k ) )  =  ( u  i^i  k ) ) )
5342, 52mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k ) )  =  ( u  i^i  k ) )
5446a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  C_  k
)
55 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Jt  k )  =  ( Jt  k )
564, 55restntr 16912 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  C_  X  /\  (
u  i^i  k )  C_  k )  ->  (
( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k
) )  =  ( ( ( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )  i^i  k ) )
5713, 19, 54, 56syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k ) )  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( ( u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )  i^i  k ) )
5853, 57eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  =  ( ( ( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )  i^i  k ) )
5938, 58eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( ( int `  J ) `  (
( u  i^i  k
)  u.  ( X 
\  k ) ) )  i^i  k ) )
6024, 59sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) ) )
61 undif3 3429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  i^i  k )  u.  ( X  \ 
k ) )  =  ( ( ( u  i^i  k )  u.  X )  \  (
k  \  ( u  i^i  k ) ) )
62 incom 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  i^i  k )  =  ( k  i^i  u
)
6362difeq2i 3291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k 
\  ( u  i^i  k ) )  =  ( k  \  (
k  i^i  u )
)
64 difin 3406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k 
\  ( k  i^i  u ) )  =  ( k  \  u
)
6563, 64eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k 
\  ( u  i^i  k ) )  =  ( k  \  u
)
6665difeq2i 3291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u  i^i  k
)  u.  X ) 
\  ( k  \ 
( u  i^i  k
) ) )  =  ( ( ( u  i^i  k )  u.  X )  \  (
k  \  u )
)
6761, 66eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  i^i  k )  u.  ( X  \ 
k ) )  =  ( ( ( u  i^i  k )  u.  X )  \  (
k  \  u )
)
6846, 19syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  C_  X
)
69 ssequn1 3345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  i^i  k ) 
C_  X  <->  ( (
u  i^i  k )  u.  X )  =  X )
7068, 69sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
u  i^i  k )  u.  X )  =  X )
7170difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( u  i^i  k
)  u.  X ) 
\  ( k  \  u ) )  =  ( X  \  (
k  \  u )
) )
7267, 71syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) )  =  ( X  \  ( k 
\  u ) ) )
7372fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( ( u  i^i  k )  u.  ( X  \  k ) ) )  =  ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) ) )
7460, 73eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) ) )
75 elin 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  <->  ( x  e.  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  /\  x  e.  ( ( int `  J ) `  k ) ) )
7674, 35, 75sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  ( k  \  u ) ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  k
) ) )
77 sslin 3395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( int `  J
) `  k )  C_  k  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  k ) )
7827, 77syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  k ) )
794ntrss2 16794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  (
k  \  u )
)  C_  X )  ->  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  C_  ( X  \  (
k  \  u )
) )
8013, 14, 79sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( X  \  (
k  \  u )
) )  C_  ( X  \  ( k  \  u ) ) )
8180, 14syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( X  \  (
k  \  u )
) )  C_  X
)
82 reldisj 3498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  C_  X  ->  ( ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( k  \  u
) )  =  (/)  <->  (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  C_  ( X  \  (
k  \  u )
) ) )
8381, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( k  \  u
) )  =  (/)  <->  (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  C_  ( X  \  (
k  \  u )
) ) )
8480, 83mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( k  \  u
) )  =  (/) )
85 inssdif0 3521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  k )  C_  u  <->  ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( k  \  u
) )  =  (/) )
8684, 85sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  k )  C_  u
)
8778, 86sstrd 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  u )
88 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  ->  ( x  e.  z  <->  x  e.  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
) ) )
89 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  ->  ( z  C_  u  <->  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  u )
)
9088, 89anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  ->  ( (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  <->  ( x  e.  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  ( k  \  u ) ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  k
) )  /\  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  u )
) )
9190rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  ( k  \  u ) ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  k
) )  e.  J  /\  ( x  e.  ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  /\  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  u )
)  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
9223, 76, 87, 91syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
9392expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
9493rexlimdva 2667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  u
)  ->  ( E. k  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) ( Jt  k )  e. 
Comp  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
9512, 94mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  u
)  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
9695ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )  ->  A. x  e.  u  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
9796ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  A. x  e.  u  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
98 eltop2 16713 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
u  e.  J  <->  A. x  e.  u  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
991, 98syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  J  <->  A. x  e.  u  E. z  e.  J  (
x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
10097, 99sylibrd 225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( u  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  u  e.  J ) )
101100ssrdv 3185 . 2  |-  ( ph  ->  (𝑘Gen `  J )  C_  J )
102 iskgen2 17243 . 2  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  <->  ( J  e. 
Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)
1031, 101, 102sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  J  e.  ran 𝑘Gen )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631   intcnt 16754   neicnei 16834   Compccmp 17113  𝑘Genckgen 17228
This theorem is referenced by:  cmpkgen  17246  llycmpkgen  17247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-cmp 17114  df-kgen 17229
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