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Theorem llycmpkgen2 17574
Description: A locally compact space is compactly generated. (This variant of llycmpkgen 17576 uses the weaker definition of locally compact, "every point has a compact neighborhood", instead of "every point has a local base of compact neighborhoods".) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iskgen3.1  |-  X  = 
U. J
llycmpkgen2.2  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
llycmpkgen2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
Assertion
Ref Expression
llycmpkgen2  |-  ( ph  ->  J  e.  ran 𝑘Gen )
Distinct variable groups:    x, k, J    ph, k, x    k, X
Allowed substitution hint:    X( x)

Proof of Theorem llycmpkgen2
Dummy variables  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llycmpkgen2.2 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
2 elssuni 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  u  C_  U. (𝑘Gen `  J
) )
32adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )  ->  u  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
4 iskgen3.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  = 
U. J
54kgenuni 17563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
61, 5syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
76adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )  ->  X  =  U. (𝑘Gen
`  J ) )
83, 7sseqtr4d 3377 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )  ->  u  C_  X
)
98sselda 3340 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  u
)  ->  x  e.  X )
10 llycmpkgen2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
1110adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  X
)  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
129, 11syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  u
)  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
131ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  J  e.  Top )
14 difss 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( X 
\  ( k  \  u ) )  C_  X
154ntropn 17105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  (
k  \  u )
)  C_  X )  ->  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  e.  J )
1613, 14, 15sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( X  \  (
k  \  u )
) )  e.  J
)
17 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
184neii1 17162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )  ->  k  C_  X )
1913, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  k  C_  X )
204ntropn 17105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  k )  e.  J )
2113, 19, 20syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  k )  e.  J
)
22 inopn 16964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  e.  J  /\  ( ( int `  J ) `
 k )  e.  J )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  e.  J )
2313, 16, 21, 22syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  e.  J )
24 inss1 3553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )  i^i  k )  C_  (
( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )
25 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  u )
264ntrss2 17113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  k )  C_  k )
2713, 19, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  k )  C_  k
)
289adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  X )
2928snssd 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  { x }  C_  X )
304neiint 17160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { x }  C_  X  /\  k  C_  X )  ->  ( k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  k
) ) )
3113, 29, 19, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  k
) ) )
3217, 31mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  k
) )
33 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
3433snss 3918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( int `  J ) `  k
)  <->  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  k )
)
3532, 34sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( int `  J
) `  k )
)
3627, 35sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  k )
37 elin 3522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( u  i^i  k )  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  k ) )
3825, 36, 37sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( u  i^i  k
) )
39 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )
40 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( Jt  k
)  e.  Comp )
41 kgeni 17561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )  ->  ( u  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
4239, 40, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
43 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  k  e. 
_V
44 resttop 17216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  e.  _V )  ->  ( Jt  k )  e. 
Top )
4513, 43, 44sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( Jt  k
)  e.  Top )
46 inss2 3554 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  i^i  k )  C_  k
474restuni 17218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  C_  X )  -> 
k  =  U. ( Jt  k ) )
4813, 19, 47syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  k  =  U. ( Jt  k ) )
4946, 48syl5sseq 3388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  C_  U. ( Jt  k ) )
50 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. ( Jt  k )  =  U. ( Jt  k )
5150isopn3 17122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Jt  k )  e. 
Top  /\  ( u  i^i  k )  C_  U. ( Jt  k ) )  -> 
( ( u  i^i  k )  e.  ( Jt  k )  <->  ( ( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k ) )  =  ( u  i^i  k ) ) )
5245, 49, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
u  i^i  k )  e.  ( Jt  k )  <->  ( ( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k ) )  =  ( u  i^i  k ) ) )
5342, 52mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k ) )  =  ( u  i^i  k ) )
5446a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  C_  k
)
55 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Jt  k )  =  ( Jt  k )
564, 55restntr 17238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  C_  X  /\  (
u  i^i  k )  C_  k )  ->  (
( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k
) )  =  ( ( ( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )  i^i  k ) )
5713, 19, 54, 56syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k ) )  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( ( u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )  i^i  k ) )
5853, 57eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  =  ( ( ( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )  i^i  k ) )
5938, 58eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( ( int `  J ) `  (
( u  i^i  k
)  u.  ( X 
\  k ) ) )  i^i  k ) )
6024, 59sseldi 3338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) ) )
61 undif3 3594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  k )  u.  ( X  \ 
k ) )  =  ( ( ( u  i^i  k )  u.  X )  \  (
k  \  ( u  i^i  k ) ) )
62 incom 3525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  i^i  k )  =  ( k  i^i  u
)
6362difeq2i 3454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k 
\  ( u  i^i  k ) )  =  ( k  \  (
k  i^i  u )
)
64 difin 3570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k 
\  ( k  i^i  u ) )  =  ( k  \  u
)
6563, 64eqtri 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k 
\  ( u  i^i  k ) )  =  ( k  \  u
)
6665difeq2i 3454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( u  i^i  k
)  u.  X ) 
\  ( k  \ 
( u  i^i  k
) ) )  =  ( ( ( u  i^i  k )  u.  X )  \  (
k  \  u )
)
6761, 66eqtri 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  k )  u.  ( X  \ 
k ) )  =  ( ( ( u  i^i  k )  u.  X )  \  (
k  \  u )
)
6846, 19syl5ss 3351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  C_  X
)
69 ssequn1 3509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  i^i  k ) 
C_  X  <->  ( (
u  i^i  k )  u.  X )  =  X )
7068, 69sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
u  i^i  k )  u.  X )  =  X )
7170difeq1d 3456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( u  i^i  k
)  u.  X ) 
\  ( k  \  u ) )  =  ( X  \  (
k  \  u )
) )
7267, 71syl5eq 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) )  =  ( X  \  ( k 
\  u ) ) )
7372fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( ( u  i^i  k )  u.  ( X  \  k ) ) )  =  ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) ) )
7460, 73eleqtrd 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) ) )
75 elin 3522 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  <->  ( x  e.  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  /\  x  e.  ( ( int `  J ) `  k ) ) )
7674, 35, 75sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  ( k  \  u ) ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  k
) ) )
77 sslin 3559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( int `  J
) `  k )  C_  k  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  k ) )
7827, 77syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  k ) )
794ntrss2 17113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  (
k  \  u )
)  C_  X )  ->  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  C_  ( X  \  (
k  \  u )
) )
8013, 14, 79sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( X  \  (
k  \  u )
) )  C_  ( X  \  ( k  \  u ) ) )
8180difss2d 3469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( X  \  (
k  \  u )
) )  C_  X
)
82 reldisj 3663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  C_  X  ->  ( ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( k  \  u
) )  =  (/)  <->  (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  C_  ( X  \  (
k  \  u )
) ) )
8381, 82syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( k  \  u
) )  =  (/)  <->  (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  C_  ( X  \  (
k  \  u )
) ) )
8480, 83mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( k  \  u
) )  =  (/) )
85 inssdif0 3687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  k )  C_  u  <->  ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( k  \  u
) )  =  (/) )
8684, 85sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  k )  C_  u
)
8778, 86sstrd 3350 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  u )
88 eleq2 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  ->  ( x  e.  z  <->  x  e.  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
) ) )
89 sseq1 3361 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  ->  ( z  C_  u  <->  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  u )
)
9088, 89anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  ->  ( (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  <->  ( x  e.  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  ( k  \  u ) ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  k
) )  /\  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  u )
) )
9190rspcev 3044 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  ( k  \  u ) ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  k
) )  e.  J  /\  ( x  e.  ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  /\  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  u )
)  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
9223, 76, 87, 91syl12anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
9312, 92rexlimddv 2826 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  u
)  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
9493ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )  ->  A. x  e.  u  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
9594ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  A. x  e.  u  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
96 eltop2 17032 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
u  e.  J  <->  A. x  e.  u  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
971, 96syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  J  <->  A. x  e.  u  E. z  e.  J  (
x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
9895, 97sylibrd 226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( u  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  u  e.  J ) )
9998ssrdv 3346 . 2  |-  ( ph  ->  (𝑘Gen `  J )  C_  J )
100 iskgen2 17572 . 2  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  <->  ( J  e. 
Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)
1011, 99, 100sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  J  e.  ran 𝑘Gen )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   U.cuni 4007   ran crn 4871   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640   Topctop 16950   intcnt 17073   neicnei 17153   Compccmp 17441  𝑘Genckgen 17557
This theorem is referenced by:  cmpkgen  17575  llycmpkgen  17576
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-ntr 17076  df-nei 17154  df-cmp 17442  df-kgen 17558
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