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Theorem llycmpkgen2 17496
Description: A locally compact space is compactly generated. (This variant of llycmpkgen 17498 uses the weaker definition of locally compact, "every point has a compact neighborhood", instead of "every point has a local base of compact neighborhoods".) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iskgen3.1  |-  X  = 
U. J
llycmpkgen2.2  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
llycmpkgen2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
Assertion
Ref Expression
llycmpkgen2  |-  ( ph  ->  J  e.  ran 𝑘Gen )
Distinct variable groups:    x, k, J    ph, k, x    k, X
Allowed substitution hint:    X( x)

Proof of Theorem llycmpkgen2
Dummy variables  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llycmpkgen2.2 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
2 elssuni 3978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  u  C_  U. (𝑘Gen `  J
) )
32adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )  ->  u  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
4 iskgen3.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  = 
U. J
54kgenuni 17485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
61, 5syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
76adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )  ->  X  =  U. (𝑘Gen
`  J ) )
83, 7sseqtr4d 3321 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )  ->  u  C_  X
)
98sselda 3284 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  u
)  ->  x  e.  X )
10 llycmpkgen2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
1110adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  X
)  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
129, 11syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  u
)  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
131ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  J  e.  Top )
14 difss 3410 . . . . . . . . . 10  |-  ( X 
\  ( k  \  u ) )  C_  X
154ntropn 17029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  (
k  \  u )
)  C_  X )  ->  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  e.  J )
1613, 14, 15sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( X  \  (
k  \  u )
) )  e.  J
)
17 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
184neii1 17086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )  ->  k  C_  X )
1913, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  k  C_  X )
204ntropn 17029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  k )  e.  J )
2113, 19, 20syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  k )  e.  J
)
22 inopn 16888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  e.  J  /\  ( ( int `  J ) `
 k )  e.  J )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  e.  J )
2313, 16, 21, 22syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  e.  J )
24 inss1 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )  i^i  k )  C_  (
( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )
25 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  u )
264ntrss2 17037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  k )  C_  k )
2713, 19, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  k )  C_  k
)
289adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  X )
2928snssd 3879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  { x }  C_  X )
304neiint 17084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { x }  C_  X  /\  k  C_  X )  ->  ( k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  k
) ) )
3113, 29, 19, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  <->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  k
) ) )
3217, 31mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  { x }  C_  ( ( int `  J ) `  k
) )
33 vex 2895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
3433snss 3862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( int `  J ) `  k
)  <->  { x }  C_  ( ( int `  J
) `  k )
)
3532, 34sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( int `  J
) `  k )
)
3627, 35sseldd 3285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  k )
37 elin 3466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( u  i^i  k )  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  k ) )
3825, 36, 37sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( u  i^i  k
) )
39 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )
40 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( Jt  k
)  e.  Comp )
41 kgeni 17483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )  ->  ( u  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
4239, 40, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
43 vex 2895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  k  e. 
_V
44 resttop 17139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  e.  _V )  ->  ( Jt  k )  e. 
Top )
4513, 43, 44sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( Jt  k
)  e.  Top )
46 inss2 3498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  i^i  k )  C_  k
474restuni 17141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  C_  X )  -> 
k  =  U. ( Jt  k ) )
4813, 19, 47syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  k  =  U. ( Jt  k ) )
4946, 48syl5sseq 3332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  C_  U. ( Jt  k ) )
50 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. ( Jt  k )  =  U. ( Jt  k )
5150isopn3 17046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Jt  k )  e. 
Top  /\  ( u  i^i  k )  C_  U. ( Jt  k ) )  -> 
( ( u  i^i  k )  e.  ( Jt  k )  <->  ( ( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k ) )  =  ( u  i^i  k ) ) )
5245, 49, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
u  i^i  k )  e.  ( Jt  k )  <->  ( ( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k ) )  =  ( u  i^i  k ) ) )
5342, 52mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k ) )  =  ( u  i^i  k ) )
5446a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  C_  k
)
55 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Jt  k )  =  ( Jt  k )
564, 55restntr 17161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  C_  X  /\  (
u  i^i  k )  C_  k )  ->  (
( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k
) )  =  ( ( ( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )  i^i  k ) )
5713, 19, 54, 56syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  ( Jt  k ) ) `  ( u  i^i  k ) )  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( ( u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )  i^i  k ) )
5853, 57eqtr3d 2414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  =  ( ( ( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) )  i^i  k ) )
5938, 58eleqtrd 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( ( int `  J ) `  (
( u  i^i  k
)  u.  ( X 
\  k ) ) )  i^i  k ) )
6024, 59sseldi 3282 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( int `  J
) `  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) ) ) )
61 undif3 3538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  k )  u.  ( X  \ 
k ) )  =  ( ( ( u  i^i  k )  u.  X )  \  (
k  \  ( u  i^i  k ) ) )
62 incom 3469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  i^i  k )  =  ( k  i^i  u
)
6362difeq2i 3398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k 
\  ( u  i^i  k ) )  =  ( k  \  (
k  i^i  u )
)
64 difin 3514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k 
\  ( k  i^i  u ) )  =  ( k  \  u
)
6563, 64eqtri 2400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k 
\  ( u  i^i  k ) )  =  ( k  \  u
)
6665difeq2i 3398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( u  i^i  k
)  u.  X ) 
\  ( k  \ 
( u  i^i  k
) ) )  =  ( ( ( u  i^i  k )  u.  X )  \  (
k  \  u )
)
6761, 66eqtri 2400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  k )  u.  ( X  \ 
k ) )  =  ( ( ( u  i^i  k )  u.  X )  \  (
k  \  u )
)
6846, 19syl5ss 3295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( u  i^i  k )  C_  X
)
69 ssequn1 3453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  i^i  k ) 
C_  X  <->  ( (
u  i^i  k )  u.  X )  =  X )
7068, 69sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
u  i^i  k )  u.  X )  =  X )
7170difeq1d 3400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( u  i^i  k
)  u.  X ) 
\  ( k  \  u ) )  =  ( X  \  (
k  \  u )
) )
7267, 71syl5eq 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
u  i^i  k )  u.  ( X  \  k
) )  =  ( X  \  ( k 
\  u ) ) )
7372fveq2d 5665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( ( u  i^i  k )  u.  ( X  \  k ) ) )  =  ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) ) )
7460, 73eleqtrd 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) ) )
75 elin 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  <->  ( x  e.  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  /\  x  e.  ( ( int `  J ) `  k ) ) )
7674, 35, 75sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  x  e.  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  ( k  \  u ) ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  k
) ) )
77 sslin 3503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( int `  J
) `  k )  C_  k  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  k ) )
7827, 77syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  k ) )
794ntrss2 17037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  (
k  \  u )
)  C_  X )  ->  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  C_  ( X  \  (
k  \  u )
) )
8013, 14, 79sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( X  \  (
k  \  u )
) )  C_  ( X  \  ( k  \  u ) ) )
8180difss2d 3413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( ( int `  J ) `  ( X  \  (
k  \  u )
) )  C_  X
)
82 reldisj 3607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  C_  X  ->  ( ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( k  \  u
) )  =  (/)  <->  (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  C_  ( X  \  (
k  \  u )
) ) )
8381, 82syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( k  \  u
) )  =  (/)  <->  (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  C_  ( X  \  (
k  \  u )
) ) )
8480, 83mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( k  \  u
) )  =  (/) )
85 inssdif0 3631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  k )  C_  u  <->  ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( k  \  u
) )  =  (/) )
8684, 85sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  k )  C_  u
)
8778, 86sstrd 3294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  u )
88 eleq2 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  ->  ( x  e.  z  <->  x  e.  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
) ) )
89 sseq1 3305 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  ->  ( z  C_  u  <->  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  u )
)
9088, 89anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  ->  ( (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  <->  ( x  e.  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  ( k  \  u ) ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  k
) )  /\  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  u )
) )
9190rspcev 2988 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  ( k  \  u ) ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  k
) )  e.  J  /\  ( x  e.  ( ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  /\  ( (
( int `  J
) `  ( X  \  ( k  \  u
) ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  k )
)  C_  u )
)  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
9223, 76, 87, 91syl12anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  x  e.  u )  /\  (
k  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )
)  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
9312, 92rexlimddv 2770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  x  e.  u
)  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
9493ralrimiva 2725 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  (𝑘Gen
`  J ) )  ->  A. x  e.  u  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
9594ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  A. x  e.  u  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
96 eltop2 16956 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
u  e.  J  <->  A. x  e.  u  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
971, 96syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  J  <->  A. x  e.  u  E. z  e.  J  (
x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
9895, 97sylibrd 226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( u  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  u  e.  J ) )
9998ssrdv 3290 . 2  |-  ( ph  ->  (𝑘Gen `  J )  C_  J )
100 iskgen2 17494 . 2  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  <->  ( J  e. 
Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)
1011, 99, 100sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  J  e.  ran 𝑘Gen )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643   _Vcvv 2892    \ cdif 3253    u. cun 3254    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   {csn 3750   U.cuni 3950   ran crn 4812   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   ↾t crest 13568   Topctop 16874   intcnt 16997   neicnei 17077   Compccmp 17364  𝑘Genckgen 17479
This theorem is referenced by:  cmpkgen  17497  llycmpkgen  17498
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-fin 7042  df-fi 7344  df-rest 13570  df-topgen 13587  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-ntr 17000  df-nei 17078  df-cmp 17365  df-kgen 17480
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