Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  llycmpkgen2 Unicode version

Theorem llycmpkgen2 17261
 Description: A locally compact space is compactly generated. (This variant of llycmpkgen 17263 uses the weaker definition of locally compact, "every point has a compact neighborhood", instead of "every point has a local base of compact neighborhoods".) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iskgen3.1
llycmpkgen2.2
llycmpkgen2.3 t
Assertion
Ref Expression
llycmpkgen2 𝑘Gen
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem llycmpkgen2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llycmpkgen2.2 . 2
2 elssuni 3871 . . . . . . . . . . 11 𝑘Gen 𝑘Gen
32adantl 452 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen 𝑘Gen
4 iskgen3.1 . . . . . . . . . . . . 13
54kgenuni 17250 . . . . . . . . . . . 12 𝑘Gen
61, 5syl 15 . . . . . . . . . . 11 𝑘Gen
76adantr 451 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen 𝑘Gen
83, 7sseqtr4d 3228 . . . . . . . . 9 𝑘Gen
98sselda 3193 . . . . . . . 8 𝑘Gen
10 llycmpkgen2.3 . . . . . . . . 9 t
1110adantlr 695 . . . . . . . 8 𝑘Gen t
129, 11syldan 456 . . . . . . 7 𝑘Gen t
131ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11 𝑘Gen t
14 difss 3316 . . . . . . . . . . . 12
154ntropn 16802 . . . . . . . . . . . 12
1613, 14, 15sylancl 643 . . . . . . . . . . 11 𝑘Gen t
17 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘Gen t
184neii1 16859 . . . . . . . . . . . . 13
1913, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 𝑘Gen t
204ntropn 16802 . . . . . . . . . . . 12
2113, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 𝑘Gen t
22 inopn 16661 . . . . . . . . . . 11
2313, 16, 21, 22syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen t
24 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . 13
25 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘Gen t
264ntrss2 16810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2713, 19, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘Gen t
289adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘Gen t
2928snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘Gen t
304neiint 16857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3113, 29, 19, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘Gen t
3217, 31mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘Gen t
33 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3433snss 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3532, 34sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘Gen t
3627, 35sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘Gen t
37 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . 15
3825, 36, 37sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘Gen t
39 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘Gen t 𝑘Gen
40 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘Gen t t
41 kgeni 17248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘Gen t t
4239, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘Gen t t
43 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44 resttop 16907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 t
4513, 43, 44sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘Gen t t
46 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
474restuni 16909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 t
4813, 19, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘Gen t t
4946, 48syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘Gen t t
50 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 t t
5150isopn3 16819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t t t t
5245, 49, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘Gen t t t
5342, 52mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘Gen t t
5446a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘Gen t
55 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t t
564, 55restntr 16928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t
5713, 19, 54, 56syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘Gen t t
5853, 57eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘Gen t
5938, 58eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘Gen t
6024, 59sseldi 3191 . . . . . . . . . . . 12 𝑘Gen t
61 undif3 3442 . . . . . . . . . . . . . . 15
62 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6362difeq2i 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
64 difin 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6563, 64eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665difeq2i 3304 . . . . . . . . . . . . . . 15
6761, 66eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . 14
6846, 19syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘Gen t
69 ssequn1 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7068, 69sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘Gen t
7170difeq1d 3306 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘Gen t
7267, 71syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘Gen t
7372fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12 𝑘Gen t
7460, 73eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . 11 𝑘Gen t
75 elin 3371 . . . . . . . . . . 11
7674, 35, 75sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen t
77 sslin 3408 . . . . . . . . . . . 12
7827, 77syl 15 . . . . . . . . . . 11 𝑘Gen t
794ntrss2 16810 . . . . . . . . . . . . . 14
8013, 14, 79sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘Gen t
8180, 14syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘Gen t
82 reldisj 3511 . . . . . . . . . . . . . 14
8381, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘Gen t
8480, 83mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12 𝑘Gen t
85 inssdif0 3534 . . . . . . . . . . . 12
8684, 85sylibr 203 . . . . . . . . . . 11 𝑘Gen t
8778, 86sstrd 3202 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen t
88 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . 12
89 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . 12
9088, 89anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11
9190rspcev 2897 . . . . . . . . . 10
9223, 76, 87, 91syl12anc 1180 . . . . . . . . 9 𝑘Gen t
9392expr 598 . . . . . . . 8 𝑘Gen t
9493rexlimdva 2680 . . . . . . 7 𝑘Gen t
9512, 94mpd 14 . . . . . 6 𝑘Gen
9695ralrimiva 2639 . . . . 5 𝑘Gen
9796ex 423 . . . 4 𝑘Gen
98 eltop2 16729 . . . . 5
991, 98syl 15 . . . 4
10097, 99sylibrd 225 . . 3 𝑘Gen
101100ssrdv 3198 . 2 𝑘Gen
102 iskgen2 17259 . 2 𝑘Gen 𝑘Gen
1031, 101, 102sylanbrc 645 1 𝑘Gen
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   cdif 3162   cun 3163   cin 3164   wss 3165  c0 3468  csn 3653  cuni 3843   crn 4706  cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341  ctop 16647  cnt 16770  cnei 16850  ccmp 17129  𝑘Genckgen 17244 This theorem is referenced by:  cmpkgen  17262  llycmpkgen  17263 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-cmp 17130  df-kgen 17245
 Copyright terms: Public domain W3C validator