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Theorem llyi 17529
Description: The property of a locally  A topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
llyi  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  E. u  e.  J  ( u  C_  U  /\  P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
Distinct variable groups:    u, A    u, P    u, U    u, J

Proof of Theorem llyi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islly 17523 . . . . 5  |-  ( J  e. Locally  A  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
21simprbi 451 . . . 4  |-  ( J  e. Locally  A  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
3 pweq 3794 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U  ->  ~P x  =  ~P U
)
43ineq2d 3534 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U  ->  ( J  i^i  ~P x )  =  ( J  i^i  ~P U ) )
54rexeqdv 2903 . . . . . 6  |-  ( x  =  U  ->  ( E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  <->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P U
) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) ) )
65raleqbi1dv 2904 . . . . 5  |-  ( x  =  U  ->  ( A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  <->  A. y  e.  U  E. u  e.  ( J  i^i  ~P U ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
76rspccva 3043 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  /\  U  e.  J )  ->  A. y  e.  U  E. u  e.  ( J  i^i  ~P U ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
82, 7sylan 458 . . 3  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  U  e.  J )  ->  A. y  e.  U  E. u  e.  ( J  i^i  ~P U ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
9 eleq1 2495 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  P  ->  (
y  e.  u  <->  P  e.  u ) )
109anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( y  =  P  ->  (
( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  <->  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) ) )
1110anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( y  =  P  ->  (
( u  e.  ( J  i^i  ~P U
)  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )  <->  ( u  e.  ( J  i^i  ~P U )  /\  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
12 anass 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  J  /\  u  C_  U )  /\  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) )  <->  ( u  e.  J  /\  ( u 
C_  U  /\  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
13 elin 3522 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( J  i^i  ~P U )  <->  ( u  e.  J  /\  u  e.  ~P U ) )
14 vex 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  u  e. 
_V
1514elpw 3797 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ~P U  <->  u  C_  U
)
1615anbi2i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  J  /\  u  e.  ~P U
)  <->  ( u  e.  J  /\  u  C_  U ) )
1713, 16bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( J  i^i  ~P U )  <->  ( u  e.  J  /\  u  C_  U ) )
1817anbi1i 677 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ( J  i^i  ~P U )  /\  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) )  <->  ( ( u  e.  J  /\  u  C_  U )  /\  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
19 3anass 940 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  C_  U  /\  P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  <->  ( u  C_  U  /\  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) ) )
2019anbi2i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  J  /\  ( u  C_  U  /\  P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )  <->  ( u  e.  J  /\  (
u  C_  U  /\  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
2112, 18, 203bitr4i 269 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( J  i^i  ~P U )  /\  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) )  <->  ( u  e.  J  /\  ( u 
C_  U  /\  P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
2211, 21syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( y  =  P  ->  (
( u  e.  ( J  i^i  ~P U
)  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )  <->  ( u  e.  J  /\  (
u  C_  U  /\  P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
2322rexbidv2 2720 . . . 4  |-  ( y  =  P  ->  ( E. u  e.  ( J  i^i  ~P U ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  <->  E. u  e.  J  ( u  C_  U  /\  P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
2423rspccva 3043 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  U  E. u  e.  ( J  i^i  ~P U ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  /\  P  e.  U )  ->  E. u  e.  J  ( u  C_  U  /\  P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) )
258, 24sylan 458 . 2  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  U  e.  J )  /\  P  e.  U
)  ->  E. u  e.  J  ( u  C_  U  /\  P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) )
26253impa 1148 1  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  E. u  e.  J  ( u  C_  U  /\  P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640   Topctop 16950  Locally clly 17519
This theorem is referenced by:  llynlly  17532  islly2  17539  llyrest  17540  llyidm  17543  nllyidm  17544  lly1stc  17551  dislly  17552  txlly  17660  cvmlift2lem10  24991
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-iota 5410  df-fv 5454  df-ov 6076  df-lly 17521
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