Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  llyrest Structured version   Unicode version

Theorem llyrest 17548
 Description: An open subspace of a locally space is also locally . (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
llyrest Locally t Locally

Proof of Theorem llyrest
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 17535 . . 3 Locally
2 resttop 17224 . . 3 t
31, 2sylan 458 . 2 Locally t
4 restopn2 17241 . . . . 5 t
51, 4sylan 458 . . . 4 Locally t
6 simp1l 981 . . . . . . . . 9 Locally Locally
7 simp2l 983 . . . . . . . . 9 Locally
8 simp3 959 . . . . . . . . 9 Locally
9 llyi 17537 . . . . . . . . 9 Locally t
106, 7, 8, 9syl3anc 1184 . . . . . . . 8 Locally t
11 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13 Locally t
12 simprr1 1005 . . . . . . . . . . . . . 14 Locally t
13 simpl2r 1011 . . . . . . . . . . . . . 14 Locally t
1412, 13sstrd 3358 . . . . . . . . . . . . 13 Locally t
156, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 Locally
1615adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 Locally t
17 simpl1r 1009 . . . . . . . . . . . . . 14 Locally t
18 restopn2 17241 . . . . . . . . . . . . . 14 t
1916, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 Locally t t
2011, 14, 19mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . 12 Locally t t
21 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . 14
2221elpw 3805 . . . . . . . . . . . . 13
2312, 22sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12 Locally t
24 elin 3530 . . . . . . . . . . . 12 t t
2520, 23, 24sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11 Locally t t
26 simprr2 1006 . . . . . . . . . . 11 Locally t
27 restabs 17229 . . . . . . . . . . . . 13 t t t
2816, 14, 17, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12 Locally t t t t
29 simprr3 1007 . . . . . . . . . . . 12 Locally t t
3028, 29eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . 11 Locally t t t
3125, 26, 30jca32 522 . . . . . . . . . 10 Locally t t t t
3231ex 424 . . . . . . . . 9 Locally t t t t
3332reximdv2 2815 . . . . . . . 8 Locally t t t t
3410, 33mpd 15 . . . . . . 7 Locally t t t
35343expa 1153 . . . . . 6 Locally t t t
3635ralrimiva 2789 . . . . 5 Locally t t t
3736ex 424 . . . 4 Locally t t t
385, 37sylbid 207 . . 3 Locally t t t t
3938ralrimiv 2788 . 2 Locally t t t t
40 islly 17531 . 2 t Locally t t t t t
413, 39, 40sylanbrc 646 1 Locally t Locally
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706   cin 3319   wss 3320  cpw 3799  (class class class)co 6081   ↾t crest 13648  ctop 16958  Locally clly 17527 This theorem is referenced by:  loclly  17550  llyidm  17551 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-lly 17529
 Copyright terms: Public domain W3C validator