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Theorem llyrest 17227
Description: An open subspace of a locally  A space is also locally  A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
llyrest  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e. Locally  A )

Proof of Theorem llyrest
Dummy variables  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 17214 . . 3  |-  ( J  e. Locally  A  ->  J  e. 
Top )
2 resttop 16907 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e.  Top )
31, 2sylan 457 . 2  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e.  Top )
4 restopn2 16924 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  ( x  e.  ( Jt  B )  <->  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) ) )
51, 4sylan 457 . . . 4  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( x  e.  ( Jt  B )  <->  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) ) )
6 simp1l 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  J  e. Locally  A )
7 simp2l 981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  x  e.  J )
8 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
9 llyi 17216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. v  e.  J  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )
106, 7, 8, 9syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  E. v  e.  J  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )
11 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  J
)
12 simprr1 1003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  C_  x
)
13 simpl2r 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  x  C_  B
)
1412, 13sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  C_  B
)
156, 1syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  J  e.  Top )
1615adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  J  e.  Top )
17 simpl1r 1007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  B  e.  J
)
18 restopn2 16924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  ( v  e.  ( Jt  B )  <->  ( v  e.  J  /\  v  C_  B ) ) )
1916, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  ( v  e.  ( Jt  B )  <->  ( v  e.  J  /\  v  C_  B ) ) )
2011, 14, 19mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ( Jt  B ) )
21 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  v  e. 
_V
2221elpw 3644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ~P x  <->  v  C_  x )
2312, 22sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ~P x )
24 elin 3371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x
)  <->  ( v  e.  ( Jt  B )  /\  v  e.  ~P x ) )
2520, 23, 24sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) )
26 simprr2 1004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  y  e.  v )
27 restabs 16912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  v  C_  B  /\  B  e.  J )  ->  (
( Jt  B )t  v )  =  ( Jt  v ) )
2816, 14, 17, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  ( ( Jt  B )t  v )  =  ( Jt  v ) )
29 simprr3 1005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  ( Jt  v )  e.  A )
3028, 29eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
)
3125, 26, 30jca32 521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  ( v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x )  /\  ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A ) ) )
3231ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )  -> 
( v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x )  /\  (
y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A ) ) ) )
3332reximdv2 2665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  ( E. v  e.  J  (
v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A )  ->  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) ) )
3410, 33mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) )
35343expa 1151 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) )  /\  y  e.  x )  ->  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  (
( Jt  B )t  v )  e.  A ) )
3635ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) )
3736ex 423 . . . 4  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) ) )
385, 37sylbid 206 . . 3  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( x  e.  ( Jt  B )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) ) )
3938ralrimiv 2638 . 2  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  A. x  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) )
40 islly 17210 . 2  |-  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  ( ( Jt  B )  e.  Top  /\ 
A. x  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) ) )
413, 39, 40sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e. Locally  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   Topctop 16647  Locally clly 17206
This theorem is referenced by:  loclly  17229  llyidm  17230
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-lly 17208
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