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Theorem lmbrf 16990
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a metric space using an arbitrary set of upper integers. This version of lmbr2 16989 presupposes that  F is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmbr.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
lmbr2.4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmbr2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmbrf.6  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
lmbrf.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
Assertion
Ref Expression
lmbrf  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
) ) )
Distinct variable groups:    j, k, u, F    j, J, k, u    ph, j, k, u   
j, Z, k, u   
j, M    P, j,
k, u    j, X, k, u
Allowed substitution hints:    A( u, j, k)    M( u, k)

Proof of Theorem lmbrf
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 lmbr2.4 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 lmbr2.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
41, 2, 3lmbr2 16989 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
5 3anass 938 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) ) )
62uztrn2 10245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
7 lmbrf.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
87eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  A  e.  u ) )
9 lmbrf.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
10 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : Z --> X  ->  dom  F  =  Z )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Z )
1211eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom  F  <-> 
k  e.  Z ) )
1312biimpar 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  dom  F )
1413biantrurd 494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
158, 14bitr3d 246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A  e.  u  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
166, 15sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( A  e.  u  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
1716anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A  e.  u  <->  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
1817ralbidva 2559 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A  e.  u  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )
1918rexbidva 2560 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )
2019imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )  <->  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
2120ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
2221anbi2d 684 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
)  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) ) )
23 toponmax 16666 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
241, 23syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
25 cnex 8818 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
2624, 25jctir 524 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V )
)
27 uzssz 10247 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
28 zsscn 10032 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  CC
2927, 28sstri 3188 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
302, 29eqsstri 3208 . . . . . . 7  |-  Z  C_  CC
319, 30jctir 524 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )
32 elpm2r 6788 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
3326, 31, 32syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
3433biantrurd 494 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) ) ) )
3522, 34bitr2d 245 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) )  <-> 
( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A  e.  u ) ) ) )
365, 35syl5bb 248 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
) ) )
374, 36bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^pm cpm 6773   CCcc 8735   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230  TopOnctopon 16632   ~~> tclm 16956
This theorem is referenced by:  lmconst  16991  lmss  17026  1stcelcls  17187  txlm  17342  lmflf  17700
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-top 16636  df-topon 16639  df-lm 16959
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