MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmbrf Unicode version

Theorem lmbrf 17247
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a metric space using an arbitrary set of upper integers. This version of lmbr2 17246 presupposes that  F is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmbr.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
lmbr2.4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmbr2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmbrf.6  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
lmbrf.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
Assertion
Ref Expression
lmbrf  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
) ) )
Distinct variable groups:    j, k, u, F    j, J, k, u    ph, j, k, u   
j, Z, k, u   
j, M    P, j,
k, u    j, X, k, u
Allowed substitution hints:    A( u, j, k)    M( u, k)

Proof of Theorem lmbrf
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 lmbr2.4 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 lmbr2.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
41, 2, 3lmbr2 17246 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
5 3anass 940 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) ) )
62uztrn2 10436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
7 lmbrf.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
87eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  A  e.  u ) )
9 lmbrf.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
10 fdm 5536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : Z --> X  ->  dom  F  =  Z )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Z )
1211eleq2d 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom  F  <-> 
k  e.  Z ) )
1312biimpar 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  dom  F )
1413biantrurd 495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
158, 14bitr3d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A  e.  u  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
166, 15sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( A  e.  u  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
1716anassrs 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A  e.  u  <->  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
1817ralbidva 2666 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A  e.  u  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )
1918rexbidva 2667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )
2019imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )  <->  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
2120ralbidv 2670 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
2221anbi2d 685 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
)  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) ) )
23 toponmax 16917 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
241, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
25 cnex 9005 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
2624, 25jctir 525 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V )
)
27 uzssz 10438 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
28 zsscn 10223 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  CC
2927, 28sstri 3301 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
302, 29eqsstri 3322 . . . . . . 7  |-  Z  C_  CC
319, 30jctir 525 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )
32 elpm2r 6971 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
3326, 31, 32syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
3433biantrurd 495 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) ) ) )
3522, 34bitr2d 246 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) )  <-> 
( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A  e.  u ) ) ) )
365, 35syl5bb 249 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
) ) )
374, 36bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   dom cdm 4819   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    ^pm cpm 6956   CCcc 8922   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421  TopOnctopon 16883   ~~> tclm 17213
This theorem is referenced by:  lmconst  17248  lmss  17285  1stcelcls  17446  txlm  17602  lmflf  17959  lmxrge0  24142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-er 6842  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-neg 9227  df-z 10216  df-uz 10422  df-top 16887  df-topon 16890  df-lm 17216
  Copyright terms: Public domain W3C validator