MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcld Structured version   Unicode version

Theorem lmcld 17367
Description: Any convergent sequence of points in a closed subset of a topological space converges to a point in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmff.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmff.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
lmff.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmcls.5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
lmcls.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  S )
lmcld.8  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
Assertion
Ref Expression
lmcld  |-  ( ph  ->  P  e.  S )
Distinct variable groups:    k, F    k, J    k, M    P, k    S, k    ph, k    k, X    k, Z

Proof of Theorem lmcld
StepHypRef Expression
1 lmff.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 lmff.3 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 lmff.4 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 lmcls.5 . . 3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
5 lmcls.7 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  S )
6 lmcld.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
7 eqid 2436 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
87cldss 17093 . . . . 5  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  U. J
)
96, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  U. J )
10 toponuni 16992 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
112, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
129, 11sseqtr4d 3385 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
131, 2, 3, 4, 5, 12lmcls 17366 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( cls `  J ) `
 S ) )
14 cldcls 17106 . . 3  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =  S )
156, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  S )  =  S )
1613, 15eleqtrd 2512 1  |-  ( ph  ->  P  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   U.cuni 4015   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488  TopOnctopon 16959   Clsdccld 17080   clsccl 17082   ~~> tclm 17290
This theorem is referenced by:  1stckgen  17586  lmle  19254
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-neg 9294  df-z 10283  df-uz 10489  df-top 16963  df-topon 16966  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-lm 17293
  Copyright terms: Public domain W3C validator