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Theorem lmclim 19212
Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim.2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
lmclim.3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
lmclim  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P ) ) )

Proof of Theorem lmclim
Dummy variables  j 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anass 940 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( CC 
^pm  CC )  /\  P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
)  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
) ) )
2 lmclim.3 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32uztrn2 10463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
4 3anass 940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
) )
5 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  ->  Z  C_  dom  F )
65sselda 3312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  dom  F )
76biantrurd 495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
) ) )
8 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
98cnmetdval 18762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  P  e.  CC )  ->  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P
) ) )
109ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  CC  /\  ( F `  k )  e.  CC )  -> 
( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P
) ) )
1110breq1d 4186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  CC  /\  ( F `  k )  e.  CC )  -> 
( ( ( F `
 k ) ( abs  o.  -  ) P )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P ) )  <  x ) )
1211pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  CC  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P ) )  <  x ) ) )
1312ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P ) )  <  x ) ) )
147, 13bitr3d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs  o.  -  ) P )  <  x
) )  <->  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P
) )  <  x
) ) )
154, 14syl5bb 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P ) )  <  x ) ) )
163, 15sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  (
j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  (
( F `  k
) ( abs  o.  -  ) P )  <  x )  <->  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P
) )  <  x
) ) )
1716anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_ 
dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P ) )  <  x ) ) )
1817ralbidva 2686 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  P ) )  < 
x ) ) )
1918rexbidva 2687 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  P ) )  < 
x ) ) )
2019ralbidv 2690 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  P ) )  <  x ) ) )
2120pm5.32da 623 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
)  <->  ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  P ) )  <  x ) ) ) )
2221anbi2d 685 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
) )  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  P ) )  <  x ) ) ) ) )
231, 22syl5bb 249 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
)  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  P ) )  <  x ) ) ) ) )
24 lmclim.2 . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
2524cnfldtopn 18773 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
26 cnxmet 18764 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
2726a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
28 simpl 444 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  M  e.  ZZ )
2925, 27, 2, 28lmmbr3 19170 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  P  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  (
( F `  k
) ( abs  o.  -  ) P )  <  x ) ) ) )
30 simpll 731 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  F  e.  ( CC  ^pm  CC )
)  ->  M  e.  ZZ )
31 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  F  e.  ( CC  ^pm  CC )
)  ->  F  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
32 eqidd 2409 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  F  e.  ( CC  ^pm  CC ) )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
332, 30, 31, 32clim2 12257 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  F  e.  ( CC  ^pm  CC )
)  ->  ( F  ~~>  P 
<->  ( P  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  P ) )  < 
x ) ) ) )
3433pm5.32da 623 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P )  <-> 
( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  P ) )  < 
x ) ) ) ) )
3523, 29, 343bitr4d 277 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671    C_ wss 3284   class class class wbr 4176   dom cdm 4841    o. ccom 4845   ` cfv 5417  (class class class)co 6044    ^pm cpm 6982   CCcc 8948    < clt 9080    - cmin 9251   ZZcz 10242   ZZ>=cuz 10448   RR+crp 10572   abscabs 11998    ~~> cli 12237   TopOpenctopn 13608   * Metcxmt 16645  ℂfldccnfld 16662   ~~> tclm 17248
This theorem is referenced by:  lmclimf  19213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-fz 11004  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-clim 12241  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-lm 17251
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