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Theorem lmclim 19286
Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim.2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
lmclim.3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
lmclim  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P ) ) )

Proof of Theorem lmclim
Dummy variables  j 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anass 941 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( CC 
^pm  CC )  /\  P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
)  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
) ) )
2 lmclim.3 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32uztrn2 10534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
4 3anass 941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
) )
5 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  ->  Z  C_  dom  F )
65sselda 3334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  dom  F )
76biantrurd 496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
) ) )
8 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
98cnmetdval 18836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  P  e.  CC )  ->  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P
) ) )
109ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  CC  /\  ( F `  k )  e.  CC )  -> 
( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P
) ) )
1110breq1d 4247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  CC  /\  ( F `  k )  e.  CC )  -> 
( ( ( F `
 k ) ( abs  o.  -  ) P )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P ) )  <  x ) )
1211pm5.32da 624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  CC  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P ) )  <  x ) ) )
1312ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P ) )  <  x ) ) )
147, 13bitr3d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs  o.  -  ) P )  <  x
) )  <->  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P
) )  <  x
) ) )
154, 14syl5bb 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P ) )  <  x ) ) )
163, 15sylan2 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  (
j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  (
( F `  k
) ( abs  o.  -  ) P )  <  x )  <->  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P
) )  <  x
) ) )
1716anassrs 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_ 
dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  j  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  P ) )  <  x ) ) )
1817ralbidva 2727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  P ) )  < 
x ) ) )
1918rexbidva 2728 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  P ) )  < 
x ) ) )
2019ralbidv 2731 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  P  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  P ) )  <  x ) ) )
2120pm5.32da 624 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
)  <->  ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  P ) )  <  x ) ) ) )
2221anbi2d 686 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
) )  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  P ) )  <  x ) ) ) ) )
231, 22syl5bb 250 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( F `  k ) ( abs 
o.  -  ) P
)  <  x )
)  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  P ) )  <  x ) ) ) ) )
24 lmclim.2 . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
2524cnfldtopn 18847 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
26 cnxmet 18838 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
2726a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
28 simpl 445 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  M  e.  ZZ )
2925, 27, 2, 28lmmbr3 19244 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  P  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  CC  /\  (
( F `  k
) ( abs  o.  -  ) P )  <  x ) ) ) )
30 simpll 732 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  F  e.  ( CC  ^pm  CC )
)  ->  M  e.  ZZ )
31 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  F  e.  ( CC  ^pm  CC )
)  ->  F  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
32 eqidd 2443 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  F  e.  ( CC  ^pm  CC ) )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
332, 30, 31, 32clim2 12329 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  /\  F  e.  ( CC  ^pm  CC )
)  ->  ( F  ~~>  P 
<->  ( P  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  P ) )  < 
x ) ) ) )
3433pm5.32da 624 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P )  <-> 
( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  P ) )  < 
x ) ) ) ) )
3523, 29, 343bitr4d 278 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   E.wrex 2712    C_ wss 3306   class class class wbr 4237   dom cdm 4907    o. ccom 4911   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    ^pm cpm 7048   CCcc 9019    < clt 9151    - cmin 9322   ZZcz 10313   ZZ>=cuz 10519   RR+crp 10643   abscabs 12070    ~~> cli 12309   TopOpenctopn 13680   * Metcxmt 16717  ℂfldccnfld 16734   ~~> tclm 17321
This theorem is referenced by:  lmclimf  19287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-fz 11075  df-seq 11355  df-exp 11414  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-lm 17324
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