MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmclimf Structured version   Unicode version

Theorem lmclimf 19248
Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim.2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
lmclim.3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
lmclimf  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P )
)

Proof of Theorem lmclimf
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  F : Z --> CC )
2 fdm 5587 . . . 4  |-  ( F : Z --> CC  ->  dom 
F  =  Z )
3 eqimss2 3393 . . . 4  |-  ( dom 
F  =  Z  ->  Z  C_  dom  F )
41, 2, 33syl 19 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  Z  C_  dom  F )
5 lmclim.2 . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
6 lmclim.3 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
75, 6lmclim 19247 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P ) ) )
84, 7syldan 457 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P ) ) )
9 uzssz 10497 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
10 zsscn 10282 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  CC
119, 10sstri 3349 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
126, 11eqsstri 3370 . . . 4  |-  Z  C_  CC
13 cnex 9063 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
14 elpm2r 7026 . . . . 5  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : Z --> CC  /\  Z  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
1513, 13, 14mpanl12 664 . . . 4  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  Z  C_  CC )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
CC ) )
161, 12, 15sylancl 644 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  CC )
)
1716biantrurd 495 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  ( F  ~~>  P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P ) ) )
188, 17bitr4d 248 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   dom cdm 4870   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^pm cpm 7011   CCcc 8980   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480    ~~> cli 12270   TopOpenctopn 13641  ℂfldccnfld 16695   ~~> tclm 17282
This theorem is referenced by:  lmlim  24325  climreeq  27696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-lm 17285
  Copyright terms: Public domain W3C validator