MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmclimf Unicode version

Theorem lmclimf 19128
Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim.2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
lmclim.3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
lmclimf  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P )
)

Proof of Theorem lmclimf
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  F : Z --> CC )
2 fdm 5536 . . . 4  |-  ( F : Z --> CC  ->  dom 
F  =  Z )
3 eqimss2 3345 . . . 4  |-  ( dom 
F  =  Z  ->  Z  C_  dom  F )
41, 2, 33syl 19 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  Z  C_  dom  F )
5 lmclim.2 . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
6 lmclim.3 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
75, 6lmclim 19127 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P ) ) )
84, 7syldan 457 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P ) ) )
9 uzssz 10438 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
10 zsscn 10223 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  CC
119, 10sstri 3301 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
126, 11eqsstri 3322 . . . 4  |-  Z  C_  CC
13 cnex 9005 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
14 elpm2r 6971 . . . . 5  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : Z --> CC  /\  Z  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
1513, 13, 14mpanl12 664 . . . 4  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  Z  C_  CC )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
CC ) )
161, 12, 15sylancl 644 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  CC )
)
1716biantrurd 495 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  ( F  ~~>  P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P ) ) )
188, 17bitr4d 248 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   dom cdm 4819   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    ^pm cpm 6956   CCcc 8922   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421    ~~> cli 12206   TopOpenctopn 13577  ℂfldccnfld 16627   ~~> tclm 17213
This theorem is referenced by:  lmlim  24138  climreeq  27408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-fz 10977  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-lm 17216
  Copyright terms: Public domain W3C validator