Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcls Structured version   Unicode version

Theorem lmcls 17366
 Description: Any convergent sequence of points in a subset of a topological space converges to a point in the closure of the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmff.1
lmff.3 TopOn
lmff.4
lmcls.5
lmcls.7
lmcls.8
Assertion
Ref Expression
lmcls
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem lmcls
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcls.5 . . . . 5
2 lmff.3 . . . . . 6 TopOn
3 lmff.1 . . . . . 6
4 lmff.4 . . . . . 6
52, 3, 4lmbr2 17323 . . . . 5
61, 5mpbid 202 . . . 4
76simp3d 971 . . 3
83r19.2uz 12155 . . . . . 6
9 lmcls.7 . . . . . . . . 9
10 inelcm 3682 . . . . . . . . . 10
1110a1i 11 . . . . . . . . 9
129, 11mpan2d 656 . . . . . . . 8
1312adantld 454 . . . . . . 7
1413rexlimdva 2830 . . . . . 6
158, 14syl5 30 . . . . 5
1615imim2d 50 . . . 4
1716ralimdv 2785 . . 3
187, 17mpd 15 . 2
19 topontop 16991 . . . 4 TopOn
202, 19syl 16 . . 3
21 lmcls.8 . . . 4
22 toponuni 16992 . . . . 5 TopOn
232, 22syl 16 . . . 4
2421, 23sseqtrd 3384 . . 3
25 lmcl 17361 . . . . 5 TopOn
262, 1, 25syl2anc 643 . . . 4
2726, 23eleqtrd 2512 . . 3
28 eqid 2436 . . . 4
2928elcls 17137 . . 3
3020, 24, 27, 29syl3anc 1184 . 2
3118, 30mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706   cin 3319   wss 3320  c0 3628  cuni 4015   class class class wbr 4212   cdm 4878  cfv 5454  (class class class)co 6081   cpm 7019  cc 8988  cz 10282  cuz 10488  ctop 16958  TopOnctopon 16959  ccl 17082  clm 17290 This theorem is referenced by:  lmcld  17367  1stcelcls  17524  caublcls  19261 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-neg 9294  df-z 10283  df-uz 10489  df-top 16963  df-topon 16966  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-lm 17293
 Copyright terms: Public domain W3C validator