Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcn2 Structured version   Unicode version

Theorem lmcn2 17683
 Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txlm.z
txlm.m
txlm.j TopOn
txlm.k TopOn
txlm.f
txlm.g
lmcn2.fl
lmcn2.gl
lmcn2.o
lmcn2.h
Assertion
Ref Expression
lmcn2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem lmcn2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txlm.f . . . . . . 7
21ffvelrnda 5872 . . . . . 6
3 txlm.g . . . . . . 7
43ffvelrnda 5872 . . . . . 6
5 opelxpi 4912 . . . . . 6
62, 4, 5syl2anc 644 . . . . 5
7 eqidd 2439 . . . . 5
8 txlm.j . . . . . . . 8 TopOn
9 txlm.k . . . . . . . 8 TopOn
10 txtopon 17625 . . . . . . . 8 TopOn TopOn TopOn
118, 9, 10syl2anc 644 . . . . . . 7 TopOn
12 lmcn2.o . . . . . . . . 9
13 cntop2 17307 . . . . . . . . 9
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8
15 eqid 2438 . . . . . . . . 9
1615toptopon 17000 . . . . . . . 8 TopOn
1714, 16sylib 190 . . . . . . 7 TopOn
18 cnf2 17315 . . . . . . 7 TopOn TopOn
1911, 17, 12, 18syl3anc 1185 . . . . . 6
2019feqmptd 5781 . . . . 5
21 fveq2 5730 . . . . . 6
22 df-ov 6086 . . . . . 6
2321, 22syl6eqr 2488 . . . . 5
246, 7, 20, 23fmptco 5903 . . . 4
25 lmcn2.h . . . 4
2624, 25syl6eqr 2488 . . 3
27 lmcn2.fl . . . . 5
28 lmcn2.gl . . . . 5
29 txlm.z . . . . . 6
30 txlm.m . . . . . 6
31 eqid 2438 . . . . . 6
3229, 30, 8, 9, 1, 3, 31txlm 17682 . . . . 5
3327, 28, 32mpbi2and 889 . . . 4
3433, 12lmcn 17371 . . 3
3526, 34eqbrtrrd 4236 . 2
36 df-ov 6086 . 2
3735, 36syl6breqr 4254 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cop 3819  cuni 4017   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cxp 4878   ccom 4884  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cz 10284  cuz 10490  ctop 16960  TopOnctopon 16961   ccn 17290  clm 17292   ctx 17594 This theorem is referenced by:  hlimadd  22697 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-z 10285  df-uz 10491  df-topgen 13669  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-lm 17295  df-tx 17596
 Copyright terms: Public domain W3C validator