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Theorem lmcnp 17032
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcnp.3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
lmcnp.4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P ) )
Assertion
Ref Expression
lmcnp  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) ( ~~> t `  K ) ( G `
 P ) )

Proof of Theorem lmcnp
Dummy variables  j 
k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcnp.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P ) )
2 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
3 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  U. K  =  U. K
42, 3cnpf 16977 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  G : U. J --> U. K
)
51, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : U. J --> U. K )
6 lmcnp.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
7 cnptop1 16972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )
81, 7syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
92toptopon 16671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
108, 9sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
11 nnuz 10263 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
12 1z 10053 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
1312a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
1410, 11, 13lmbr2 16989 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC )  /\  P  e. 
U. J  /\  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) ) ) )
156, 14mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC )  /\  P  e.  U. J  /\  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) ) )
1615simp1d 967 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( U. J  ^pm  CC ) )
17 uniexg 4517 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
188, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. J  e.  _V )
19 cnex 8818 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
20 elpm2g 6787 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. J  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC ) 
<->  ( F : dom  F --> U. J  /\  dom  F 
C_  CC ) ) )
2118, 19, 20sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC ) 
<->  ( F : dom  F --> U. J  /\  dom  F 
C_  CC ) ) )
2216, 21mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> U. J  /\  dom  F 
C_  CC ) )
2322simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> U. J )
24 fco 5398 . . . . 5  |-  ( ( G : U. J --> U. K  /\  F : dom  F --> U. J )  -> 
( G  o.  F
) : dom  F --> U. K )
255, 23, 24syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : dom  F --> U. K )
26 fdm 5393 . . . . . 6  |-  ( ( G  o.  F ) : dom  F --> U. K  ->  dom  ( G  o.  F )  =  dom  F )
2725, 26syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( G  o.  F )  =  dom  F )
2827feq2d 5380 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) : dom  ( G  o.  F
) --> U. K  <->  ( G  o.  F ) : dom  F --> U. K ) )
2925, 28mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : dom  ( G  o.  F ) --> U. K )
3022simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
3127, 30eqsstrd 3212 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( G  o.  F )  C_  CC )
32 cnptop2 16973 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top )
331, 32syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
34 uniexg 4517 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  _V )
3533, 34syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. K  e.  _V )
36 elpm2g 6787 . . . 4  |-  ( ( U. K  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. K  ^pm  CC ) 
<->  ( ( G  o.  F ) : dom  ( G  o.  F
) --> U. K  /\  dom  ( G  o.  F
)  C_  CC )
) )
3735, 19, 36sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. K  ^pm  CC ) 
<->  ( ( G  o.  F ) : dom  ( G  o.  F
) --> U. K  /\  dom  ( G  o.  F
)  C_  CC )
) )
3829, 31, 37mpbir2and 888 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( U. K  ^pm  CC ) )
3915simp2d 968 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  U. J
)
40 ffvelrn 5663 . . 3  |-  ( ( G : U. J --> U. K  /\  P  e. 
U. J )  -> 
( G `  P
)  e.  U. K
)
415, 39, 40syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  P
)  e.  U. K
)
4215simp3d 969 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) )
4342adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) )
44 cnpimaex 16986 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v
)  C_  u )
)
45443expb 1152 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v )  C_  u ) )
461, 45sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v
)  C_  u )
)
47 r19.29 2683 . . . . . . 7  |-  ( ( A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  ( P  e.  v  /\  ( G " v ) 
C_  u ) ) )
48 pm3.45 807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  ->  ( ( P  e.  v  /\  ( G " v )  C_  u )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u ) ) )
4948imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G
" v )  C_  u ) )
5049reximi 2650 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  J  ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u ) )
5147, 50syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u ) )
525ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  G : U. J
--> U. K )
53 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : U. J --> U. K  ->  G  Fn  U. J
)
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  G  Fn  U. J )
55 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  v  e.  J
)
56 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  J  ->  v  C_ 
U. J )
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  v  C_  U. J
)
58 fnfvima 5756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  Fn  U. J  /\  v  C_  U. J  /\  ( F `  k
)  e.  v )  ->  ( G `  ( F `  k ) )  e.  ( G
" v ) )
59583expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  Fn  U. J  /\  v  C_  U. J
)  ->  ( ( F `  k )  e.  v  ->  ( G `
 ( F `  k ) )  e.  ( G " v
) ) )
6054, 57, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( G `  ( F `  k
) )  e.  ( G " v ) ) )
6123ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  F : dom  F --> U. J
)
62 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : dom  F --> U. J  /\  k  e.  dom  F )  -> 
( ( G  o.  F ) `  k
)  =  ( G `
 ( F `  k ) ) )
6361, 62sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
6463eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( ( G  o.  F ) `
 k )  e.  ( G " v
)  <->  ( G `  ( F `  k ) )  e.  ( G
" v ) ) )
6560, 64sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  ( G " v ) ) )
66 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( G "
v )  C_  u
)
6766sseld 3179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( ( G  o.  F ) `
 k )  e.  ( G " v
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) )
6865, 67syld 40 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) )
69 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  k  e.  dom  F )
7027ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  dom  ( G  o.  F )  =  dom  F )
7169, 70eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  k  e.  dom  ( G  o.  F
) )
7268, 71jctild 527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  (
( G  o.  F
) `  k )  e.  u ) ) )
7372expimpd 586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  (
k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
7473ralimdv 2622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) )
7574reximdv 2654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) )
7675expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( G " v )  C_  u  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) ) )
7776com23 72 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  ( ( G " v )  C_  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) ) )
7877imp3a 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
7978rexlimdva 2667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  -> 
( E. v  e.  J  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G
" v )  C_  u )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) )
8051, 79syl5 28 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  -> 
( ( A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v ) 
C_  u ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
8143, 46, 80mp2and 660 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) )
8281expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  (
( G `  P
)  e.  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
8382ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  K  ( ( G `  P )  e.  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
843toptopon 16671 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
8533, 84sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
8685, 11, 13lmbr2 16989 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) ( ~~> t `  K ) ( G `
 P )  <->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. K  ^pm  CC )  /\  ( G `
 P )  e. 
U. K  /\  A. u  e.  K  (
( G `  P
)  e.  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
8738, 41, 83, 86mpbir3and 1135 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) ( ~~> t `  K ) ( G `
 P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   "cima 4692    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^pm cpm 6773   CCcc 8735   1c1 8738   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    CnP ccnp 16955   ~~> tclm 16956
This theorem is referenced by:  lmcn  17033  1stccnp  17188
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-z 10025  df-uz 10231  df-top 16636  df-topon 16639  df-cnp 16958  df-lm 16959
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