Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcnp Structured version   Unicode version

Theorem lmcnp 17358
 Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcnp.3
lmcnp.4
Assertion
Ref Expression
lmcnp

Proof of Theorem lmcnp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcnp.4 . . . . . 6
2 eqid 2435 . . . . . . 7
3 eqid 2435 . . . . . . 7
42, 3cnpf 17301 . . . . . 6
51, 4syl 16 . . . . 5
6 lmcnp.3 . . . . . . . . 9
7 cnptop1 17296 . . . . . . . . . . . 12
81, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11
92toptopon 16988 . . . . . . . . . . 11 TopOn
108, 9sylib 189 . . . . . . . . . 10 TopOn
11 nnuz 10511 . . . . . . . . . 10
12 1z 10301 . . . . . . . . . . 11
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10
1410, 11, 13lmbr2 17313 . . . . . . . . 9
156, 14mpbid 202 . . . . . . . 8
1615simp1d 969 . . . . . . 7
17 uniexg 4698 . . . . . . . . 9
188, 17syl 16 . . . . . . . 8
19 cnex 9061 . . . . . . . 8
20 elpm2g 7025 . . . . . . . 8
2118, 19, 20sylancl 644 . . . . . . 7
2216, 21mpbid 202 . . . . . 6
2322simpld 446 . . . . 5
24 fco 5592 . . . . 5
255, 23, 24syl2anc 643 . . . 4
26 fdm 5587 . . . . . 6
2725, 26syl 16 . . . . 5
2827feq2d 5573 . . . 4
2925, 28mpbird 224 . . 3
3022simprd 450 . . . 4
3127, 30eqsstrd 3374 . . 3
32 cnptop2 17297 . . . . . 6
331, 32syl 16 . . . . 5
34 uniexg 4698 . . . . 5
3533, 34syl 16 . . . 4
36 elpm2g 7025 . . . 4
3735, 19, 36sylancl 644 . . 3
3829, 31, 37mpbir2and 889 . 2
3915simp2d 970 . . 3
405, 39ffvelrnd 5863 . 2
4115simp3d 971 . . . . . 6
4241adantr 452 . . . . 5
43 cnpimaex 17310 . . . . . . 7
44433expb 1154 . . . . . 6
451, 44sylan 458 . . . . 5
46 r19.29 2838 . . . . . . 7
47 pm3.45 808 . . . . . . . . 9
4847imp 419 . . . . . . . 8
4948reximi 2805 . . . . . . 7
5046, 49syl 16 . . . . . 6
515ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
55 elssuni 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
57 fnfvima 5968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
58573expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5953, 56, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6023ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6260, 61sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6362eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6459, 63sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665sseld 3339 . . . . . . . . . . . . . . 15
6764, 66syld 42 . . . . . . . . . . . . . 14
68 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15
6927ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15
7068, 69eleqtrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . 14
7167, 70jctild 528 . . . . . . . . . . . . 13
7271expimpd 587 . . . . . . . . . . . 12
7372ralimdv 2777 . . . . . . . . . . 11
7473reximdv 2809 . . . . . . . . . 10
7574expr 599 . . . . . . . . 9
7675com23 74 . . . . . . . 8
7776imp3a 421 . . . . . . 7
7877rexlimdva 2822 . . . . . 6
7950, 78syl5 30 . . . . 5
8042, 45, 79mp2and 661 . . . 4
8180expr 599 . . 3
8281ralrimiva 2781 . 2
833toptopon 16988 . . . 4 TopOn
8433, 83sylib 189 . . 3 TopOn
8584, 11, 13lmbr2 17313 . 2
8638, 40, 82, 85mpbir3and 1137 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948   wss 3312  cuni 4007   class class class wbr 4204   cdm 4870  cima 4873   ccom 4874   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cpm 7011  cc 8978  c1 8981  cn 9990  cz 10272  cuz 10478  ctop 16948  TopOnctopon 16949   ccnp 17279  clm 17280 This theorem is referenced by:  lmcn  17359  1stccnp  17515 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-z 10273  df-uz 10479  df-top 16953  df-topon 16956  df-cnp 17282  df-lm 17283
 Copyright terms: Public domain W3C validator