Theorem lmconst 7934

Description: A constant sequence converges to its value.

Hypotheses

Ref	Expression
lmbr.1	|- X = dom dom D
lmbr2.3	|- N e. ZZ
lmbr2.4	|- Z = (ZZ>` N)

Assertion

Ref	Expression
lmconst	|- ((D e. Met /\ P e. X) -> (Z X. {P})(~~>m` D)P)

Proof of Theorem lmconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2622	. . . . . . . . 9 |- (j = N -> (j <_ k <-> N <_ k))
2	1	imbi1d 613	. . . . . . . 8 |- (j = N -> ((j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x) <-> (N <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)))
3	2	ralbidv 1663	. . . . . . 7 |- (j = N -> (A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x) <-> A.k e. Z (N <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)))
4	3	rcla4ev 1877	. . . . . 6 |- ((N e. Z /\ A.k e. Z (N <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))
5		lmbr2.3	. . . . . . . 8 |- N e. ZZ
6		uzidt 6427	. . . . . . . . 9 |- (N e. ZZ -> N e. (ZZ>` N))
7		lmbr2.4	. . . . . . . . 9 |- Z = (ZZ>` N)
8	6, 7	syl6eleqr 1559	. . . . . . . 8 |- (N e. ZZ -> N e. Z)
9	5, 8	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- N e. Z
10	9	a1i 8	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) -> N e. Z)
11		fvconst2g 3844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((P e. X /\ k e. Z) -> ((Z X. {P})` k) = P)
12	11	adantll 392	. . . . . . . . . . . 12 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ k e. Z) -> ((Z X. {P})` k) = P)
13	12	opreq1d 3975	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ k e. Z) -> (((Z X. {P})` k)DP) = (PDP))
14		lmbr.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = dom dom D
15	14	met0 7815	. . . . . . . . . . . 12 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (PDP) = 0)
16	15	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ k e. Z) -> (PDP) = 0)
17	13, 16	eqtrd 1507	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ k e. Z) -> (((Z X. {P})` k)DP) = 0)
18	17	adantlr 393	. . . . . . . . 9 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) /\ k e. Z) -> (((Z X. {P})` k)DP) = 0)
19		simplr 413	. . . . . . . . 9 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) /\ k e. Z) -> 0 < x)
20	18, 19	eqbrtrd 2635	. . . . . . . 8 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) /\ k e. Z) -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)
21	20	a1d 12	. . . . . . 7 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) /\ k e. Z) -> (N <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))
22	21	r19.21aiva 1714	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) -> A.k e. Z (N <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))
23	4, 10, 22	sylanc 471	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))
24	23	ex 373	. . . 4 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)))
25	24	a1d 12	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (x e. RR -> (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))))
26	25	r19.21aiv 1713	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)))
27		fss 3635	. . . . 5 |- (((Z X. {P}):Z-->{P} /\ {P} (_ X) -> (Z X. {P}):Z-->X)
28		fconstg 3659	. . . . 5 |- (P e. X -> (Z X. {P}):Z-->{P})
29		snssi 2466	. . . . 5 |- (P e. X -> {P} (_ X)
30	27, 28, 29	sylanc 471	. . . 4 |- (P e. X -> (Z X. {P}):Z-->X)
31	30	adantl 388	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (Z X. {P}):Z-->X)
32	14, 5, 7	lmbrf2 7931	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. X /\ (Z X. {P}):Z-->X) -> ((Z X. {P})(~~>m` D)P <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))))
33	31, 32	mpd3an3 917	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> ((Z X. {P})(~~>m` D)P <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))))
34	26, 33	mpbird 196	1 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (Z X. {P})(~~>m` D)P)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047  {csn 2409   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  dom cdm 3170  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234   <_ cle 5295  ZZcz 5298   < clt 5486  ZZ>cuz 6417  Metcme 7789  ~~>mclm 7919

This theorem is referenced by:  metelcls 7965

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-enr 5166  df-nr 5167  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-lt 5247  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-z 6136  df-uz 6418  df-met 7793  df-lm 7922

Copyright terms: Public domain