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Theorem lmcvg 16992
Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcvg.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmcvg.3  |-  ( ph  ->  P  e.  U )
lmcvg.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmcvg.5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
lmcvg.6  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
Assertion
Ref Expression
lmcvg  |-  ( ph  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  U )
Distinct variable groups:    j, k, F    j, J, k    P, j, k    ph, j, k    U, j, k    j, M   
j, Z, k
Allowed substitution hint:    M( k)

Proof of Theorem lmcvg
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcvg.6 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
2 lmcvg.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
3 lmrcl 16961 . . . . . . . 8  |-  ( F ( ~~> t `  J
) P  ->  J  e.  Top )
42, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
5 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
65toptopon 16671 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
74, 6sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
8 lmcvg.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
9 lmcvg.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
107, 8, 9lmbr2 16989 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC )  /\  P  e. 
U. J  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) ) ) )
112, 10mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC )  /\  P  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) )
1211simp3d 969 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
13 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u )  ->  ( F `  k )  e.  u
)
1413ralimi 2618 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )
1514reximi 2650 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )
1615imim2i 13 . . . 4  |-  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) )  ->  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u ) )
1716ralimi 2618 . . 3  |-  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) )  ->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) )
1812, 17syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) )
19 lmcvg.3 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  U )
20 eleq2 2344 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  ( P  e.  u  <->  P  e.  U ) )
21 eleq2 2344 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  ( F `  k )  e.  U
) )
2221rexralbidv 2587 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  U ) )
2320, 22imbi12d 311 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  (
( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  <->  ( P  e.  U  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  U ) ) )
2423rspcv 2880 . 2  |-  ( U  e.  J  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  -> 
( P  e.  U  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  U ) ) )
251, 18, 19, 24syl3c 57 1  |-  ( ph  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^pm cpm 6773   CCcc 8735   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   ~~> tclm 16956
This theorem is referenced by:  lmmo  17108  1stccnp  17188  1stckgenlem  17248  iscmet3lem2  18718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-top 16636  df-topon 16639  df-lm 16959
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