Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmff Unicode version

Theorem lmff 17029
 Description: If converges, there is some upper integer set on which is a total function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmff.1
lmff.3 TopOn
lmff.4
lmff.5
Assertion
Ref Expression
lmff
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem lmff
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmff.5 . . . . . 6
2 eldm2g 4875 . . . . . . 7
32ibi 232 . . . . . 6
41, 3syl 15 . . . . 5
5 df-br 4024 . . . . . 6
65exbii 1569 . . . . 5
74, 6sylibr 203 . . . 4
8 lmff.3 . . . . . . . . 9 TopOn
9 toponmax 16666 . . . . . . . . 9 TopOn
108, 9syl 15 . . . . . . . 8
1110adantr 451 . . . . . . 7
128lmbr 16988 . . . . . . . . 9
1312biimpa 470 . . . . . . . 8
1413simp3d 969 . . . . . . 7
15 lmcl 17025 . . . . . . . 8 TopOn
168, 15sylan 457 . . . . . . 7
17 eleq2 2344 . . . . . . . . 9
18 feq3 5377 . . . . . . . . . 10
1918rexbidv 2564 . . . . . . . . 9
2017, 19imbi12d 311 . . . . . . . 8
2120rspcv 2880 . . . . . . 7
2211, 14, 16, 21syl3c 57 . . . . . 6
2322ex 423 . . . . 5
2423exlimdv 1664 . . . 4
257, 24mpd 14 . . 3
26 uzf 10233 . . . 4
27 ffn 5389 . . . 4
28 reseq2 4950 . . . . . 6
29 id 19 . . . . . 6
3028, 29feq12d 5381 . . . . 5
3130rexrn 5667 . . . 4
3226, 27, 31mp2b 9 . . 3
3325, 32sylib 188 . 2
34 lmff.4 . . . 4
35 lmff.1 . . . . 5
3635rexuz3 11832 . . . 4
3734, 36syl 15 . . 3
3813simp1d 967 . . . . . . . . 9
3938ex 423 . . . . . . . 8
4039exlimdv 1664 . . . . . . 7
417, 40mpd 14 . . . . . 6
42 pmfun 6790 . . . . . 6
4341, 42syl 15 . . . . 5
44 ffvresb 5690 . . . . 5
4543, 44syl 15 . . . 4
4645rexbidv 2564 . . 3
4745rexbidv 2564 . . 3
4837, 46, 473bitr4d 276 . 2
4933, 48mpbird 223 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544  cpw 3625  cop 3643   class class class wbr 4023   cdm 4689   crn 4690   cres 4691   wfun 5249   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cpm 6773  cc 8735  cz 10024  cuz 10230  TopOnctopon 16632  clm 16956 This theorem is referenced by:  lmle  18727 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-top 16636  df-topon 16639  df-lm 16959
 Copyright terms: Public domain W3C validator