Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmflf Structured version   Unicode version

Theorem lmflf 18029
 Description: The topological limit relation on functions can be written in terms of the filter limit along the filter generated by the upper integer sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmflf.1
lmflf.2
Assertion
Ref Expression
lmflf TopOn

Proof of Theorem lmflf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 10483 . . . . . . . 8
2 ffn 5583 . . . . . . . 8
31, 2ax-mp 8 . . . . . . 7
4 lmflf.1 . . . . . . . 8
5 uzssz 10497 . . . . . . . 8
64, 5eqsstri 3370 . . . . . . 7
7 imaeq2 5191 . . . . . . . . 9
87sseq1d 3367 . . . . . . . 8
98rexima 5969 . . . . . . 7
103, 6, 9mp2an 654 . . . . . 6
11 simpl3 962 . . . . . . . . 9 TopOn
12 ffun 5585 . . . . . . . . 9
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8 TopOn
14 uzss 10498 . . . . . . . . . . 11
1514, 4eleq2s 2527 . . . . . . . . . 10
1615adantl 453 . . . . . . . . 9 TopOn
17 fdm 5587 . . . . . . . . . . 11
1811, 17syl 16 . . . . . . . . . 10 TopOn
1918, 4syl6eq 2483 . . . . . . . . 9 TopOn
2016, 19sseqtr4d 3377 . . . . . . . 8 TopOn
21 funimass4 5769 . . . . . . . 8
2213, 20, 21syl2anc 643 . . . . . . 7 TopOn
2322rexbidva 2714 . . . . . 6 TopOn
2410, 23syl5rbb 250 . . . . 5 TopOn
2524imbi2d 308 . . . 4 TopOn
2625ralbidv 2717 . . 3 TopOn
2726anbi2d 685 . 2 TopOn
28 simp1 957 . . 3 TopOn TopOn
29 simp2 958 . . 3 TopOn
30 simp3 959 . . 3 TopOn
31 eqidd 2436 . . 3 TopOn
3228, 4, 29, 30, 31lmbrf 17316 . 2 TopOn
334uzfbas 17922 . . 3
34 lmflf.2 . . . 4
3534flffbas 18019 . . 3 TopOn
3633, 35syl3an2 1218 . 2 TopOn
3727, 32, 363bitr4d 277 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698   wss 3312  cpw 3791   class class class wbr 4204   cdm 4870  cima 4873   wfun 5440   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cz 10274  cuz 10480  cfbas 16681  cfg 16682  TopOnctopon 16951  clm 17282   cflf 17959 This theorem is referenced by:  cmetcaulem  19233 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-z 10275  df-uz 10481  df-rest 13642  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-topon 16958  df-ntr 17076  df-nei 17154  df-lm 17285  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964
 Copyright terms: Public domain W3C validator