MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmfun Unicode version

Theorem lmfun 17109
Description: The convergence relation is function-like in a Hausdorff space. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
lmfun  |-  ( J  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  J )
)

Proof of Theorem lmfun
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmrel 16960 . . 3  |-  Rel  ( ~~> t `  J )
21a1i 10 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  Rel  ( ~~> t `  J )
)
3 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x ( ~~> t `  J ) y  /\  x ( ~~> t `  J ) z ) )  ->  J  e.  Haus )
4 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x ( ~~> t `  J ) y  /\  x ( ~~> t `  J ) z ) )  ->  x ( ~~> t `  J )
y )
5 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x ( ~~> t `  J ) y  /\  x ( ~~> t `  J ) z ) )  ->  x ( ~~> t `  J )
z )
63, 4, 5lmmo 17108 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x ( ~~> t `  J ) y  /\  x ( ~~> t `  J ) z ) )  ->  y  =  z )
76ex 423 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( ( x ( ~~> t `  J ) y  /\  x ( ~~> t `  J ) z )  ->  y  =  z ) )
87alrimiv 1617 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. z
( ( x ( ~~> t `  J ) y  /\  x ( ~~> t `  J ) z )  ->  y  =  z ) )
98alrimiv 1617 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. y A. z ( ( x ( ~~> t `  J
) y  /\  x
( ~~> t `  J
) z )  -> 
y  =  z ) )
109alrimiv 1617 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( ~~> t `  J ) y  /\  x ( ~~> t `  J ) z )  ->  y  =  z ) )
11 dffun2 5265 . 2  |-  ( Fun  ( ~~> t `  J
)  <->  ( Rel  ( ~~> t `  J )  /\  A. x A. y A. z ( ( x ( ~~> t `  J
) y  /\  x
( ~~> t `  J
) z )  -> 
y  =  z ) ) )
122, 10, 11sylanbrc 645 1  |-  ( J  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   Rel wrel 4694   Fun wfun 5249   ` cfv 5255   ~~> tclm 16956   Hauscha 17036
This theorem is referenced by:  hausmapdom  17226  lmcau  18738  minvecolem4a  21456  minvecolem4b  21457  minvecolem4  21459  hlimf  21817  heiborlem9  26543  bfplem1  26546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-z 10025  df-uz 10231  df-top 16636  df-topon 16639  df-lm 16959  df-haus 17043
  Copyright terms: Public domain W3C validator