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Theorem lmfval 16962
Description: The relation "sequence  f converges to point  y " in a metric space. (Contributed by NM, 7-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmfval  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( ~~> t `  J )  =  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } )
Distinct variable groups:    y, f, x, X    u, f, J, x, y
Allowed substitution hint:    X( u)

Proof of Theorem lmfval
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-lm 16959 . . 3  |-  ~~> t  =  ( j  e.  Top  |->  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( U. j  ^pm  CC )  /\  x  e. 
U. j  /\  A. u  e.  j  (
x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } )
21a1i 10 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ~~> t  =  ( j  e.  Top  |->  {
<. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( U. j  ^pm  CC )  /\  x  e.  U. j  /\  A. u  e.  j  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) } ) )
3 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  j  =  J )
43unieqd 3838 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  U. j  =  U. J )
5 toponuni 16665 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
65adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  X  =  U. J )
74, 6eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  U. j  =  X )
87oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  ( U. j  ^pm  CC )  =  ( X  ^pm  CC ) )
98eleq2d 2350 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  (
f  e.  ( U. j  ^pm  CC )  <->  f  e.  ( X  ^pm  CC ) ) )
107eleq2d 2350 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  (
x  e.  U. j  <->  x  e.  X ) )
113raleqdv 2742 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  ( A. u  e.  j 
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) )
129, 10, 113anbi123d 1252 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  (
( f  e.  ( U. j  ^pm  CC )  /\  x  e.  U. j  /\  A. u  e.  j  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) ) )
1312opabbidv 4082 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  j  =  J )  ->  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( U. j  ^pm  CC )  /\  x  e.  U. j  /\  A. u  e.  j  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) }  =  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } )
14 topontop 16664 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
15 df-3an 936 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( (
f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X )  /\  A. u  e.  J  (
x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) )
1615opabbii 4083 . . . 4  |-  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) }  =  { <. f ,  x >.  |  (
( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X
)  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) }
17 opabssxp 4762 . . . 4  |-  { <. f ,  x >.  |  ( ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X
)  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) } 
C_  ( ( X 
^pm  CC )  X.  X
)
1816, 17eqsstri 3208 . . 3  |-  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) } 
C_  ( ( X 
^pm  CC )  X.  X
)
19 ovex 5883 . . . 4  |-  ( X 
^pm  CC )  e.  _V
20 toponmax 16666 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
21 xpexg 4800 . . . 4  |-  ( ( ( X  ^pm  CC )  e.  _V  /\  X  e.  J )  ->  (
( X  ^pm  CC )  X.  X )  e. 
_V )
2219, 20, 21sylancr 644 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( ( X  ^pm  CC )  X.  X )  e.  _V )
23 ssexg 4160 . . 3  |-  ( ( { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) }  C_  ( ( X  ^pm  CC )  X.  X )  /\  ( ( X 
^pm  CC )  X.  X
)  e.  _V )  ->  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) }  e.  _V )
2418, 22, 23sylancr 644 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  { <. f ,  x >.  |  (
f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) }  e.  _V )
252, 13, 14, 24fvmptd 5606 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( ~~> t `  J )  =  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   U.cuni 3827   {copab 4076    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ran crn 4690    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^pm cpm 6773   CCcc 8735   ZZ>=cuz 10230   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   ~~> tclm 16956
This theorem is referenced by:  lmbr  16988  sslm  17027
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-top 16636  df-topon 16639  df-lm 16959
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