Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmeql Structured version   Unicode version

Theorem lmhmeql 16131
 Description: The equalizer of two module homomorphisms is a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lmhmeql.u
Assertion
Ref Expression
lmhmeql LMHom LMHom

Proof of Theorem lmhmeql
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmghm 16107 . . 3 LMHom
2 lmghm 16107 . . 3 LMHom
3 ghmeql 15028 . . 3 SubGrp
41, 2, 3syl2an 464 . 2 LMHom LMHom SubGrp
5 lmhmlmod1 16109 . . . . . . . . . 10 LMHom
65adantr 452 . . . . . . . . 9 LMHom LMHom
76ad2antrr 707 . . . . . . . 8 LMHom LMHom Scalar
8 simplr 732 . . . . . . . 8 LMHom LMHom Scalar Scalar
9 simprl 733 . . . . . . . 8 LMHom LMHom Scalar
10 eqid 2436 . . . . . . . . 9
11 eqid 2436 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
12 eqid 2436 . . . . . . . . 9
13 eqid 2436 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
1410, 11, 12, 13lmodvscl 15967 . . . . . . . 8 Scalar
157, 8, 9, 14syl3anc 1184 . . . . . . 7 LMHom LMHom Scalar
16 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
1716ad2antll 710 . . . . . . . 8 LMHom LMHom Scalar
18 simplll 735 . . . . . . . . 9 LMHom LMHom Scalar LMHom
19 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
2011, 13, 10, 12, 19lmhmlin 16111 . . . . . . . . 9 LMHom Scalar
2118, 8, 9, 20syl3anc 1184 . . . . . . . 8 LMHom LMHom Scalar
22 simpllr 736 . . . . . . . . 9 LMHom LMHom Scalar LMHom
2311, 13, 10, 12, 19lmhmlin 16111 . . . . . . . . 9 LMHom Scalar
2422, 8, 9, 23syl3anc 1184 . . . . . . . 8 LMHom LMHom Scalar
2517, 21, 243eqtr4d 2478 . . . . . . 7 LMHom LMHom Scalar
26 fveq2 5728 . . . . . . . . 9
27 fveq2 5728 . . . . . . . . 9
2826, 27eqeq12d 2450 . . . . . . . 8
2928elrab 3092 . . . . . . 7
3015, 25, 29sylanbrc 646 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar
3130expr 599 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
3231ralrimiva 2789 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
33 eqid 2436 . . . . . . . . 9
3410, 33lmhmf 16110 . . . . . . . 8 LMHom
35 ffn 5591 . . . . . . . 8
3634, 35syl 16 . . . . . . 7 LMHom
3710, 33lmhmf 16110 . . . . . . . 8 LMHom
38 ffn 5591 . . . . . . . 8
3937, 38syl 16 . . . . . . 7 LMHom
40 fndmin 5837 . . . . . . 7
4136, 39, 40syl2an 464 . . . . . 6 LMHom LMHom
4241adantr 452 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
43 eleq2 2497 . . . . . . 7
4443raleqbi1dv 2912 . . . . . 6
45 fveq2 5728 . . . . . . . 8
46 fveq2 5728 . . . . . . . 8
4745, 46eqeq12d 2450 . . . . . . 7
4847ralrab 3096 . . . . . 6
4944, 48syl6bb 253 . . . . 5
5042, 49syl 16 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
5132, 50mpbird 224 . . 3 LMHom LMHom Scalar
5251ralrimiva 2789 . 2 LMHom LMHom Scalar
53 lmhmeql.u . . . 4
5411, 13, 10, 12, 53islss4 16038 . . 3 SubGrp Scalar
556, 54syl 16 . 2 LMHom LMHom SubGrp Scalar
564, 52, 55mpbir2and 889 1 LMHom LMHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  crab 2709   cin 3319   cdm 4878   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469  Scalarcsca 13532  cvsca 13533  SubGrpcsubg 14938   cghm 15003  clmod 15950  clss 16008   LMHom clmhm 16095 This theorem is referenced by:  lspextmo  16132 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lmhm 16098
 Copyright terms: Public domain W3C validator